由于储层非均质性，注入水冲刷后的剩余油分布不均，故在高含水期五点法压裂井网的产能预测中，必须考虑剩余油分布非均质性。郎兆新等运用势叠加方法求解了压裂水平井产能^[1]。王晓冬等在讨论封闭地层中有限导流垂直裂缝井完整的压力动态特征后，推导了中期径向流动和晚期拟稳态流动新公式以及修正的Dupuit型产量计算公式^[2]。孟红霞等基于有限导流能力裂缝，建立了水力压裂油井产能计算模型，研究了裂缝参数对油井产能的影响^[3]。崔传智等推导出矩形五点井网内压裂井与未压裂井的见水时间计算公式，并得到了裂缝不同长度和导流能力下的压裂井产能公式^[4]。熊健等基于渗流理论和保角变换，建立了压裂直井稳态产能模型^[5-8]。以上产能模型均基于储层均质假设，且只适用于单相油流情况。蒲军等基于渗流理论和流管积分法，给出了均质油藏压裂井网的产量计算方法^[9-12]，该方法虽然适用于油水两相流动情况，但在方法的建立过程中没有考虑储层非均质性的影响，尤其是高含水期剩余油非均质性的影响。为此，笔者考虑高含水期剩余油非均质性与储层系数非均质性，首先基于井网及流线分布特征，将五点法注采单元划分为 4 个注采区域，并进一步将各注采区域划分为多个计算单元；然后通过运用流线积分法、物质平衡原理及稳定状态逐次替换法，推导出各计算单元的产能计算方法，合并各计算单元产能，最终获得高含水期五点法压裂井网的动态产能，以期为高含水期井网压裂可行性分析及其优化提供理论基础。

1 物理模型

五点法压裂井网注采单元可划分为4个注采区域，其编号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ（图1a）。由于注水井井底压力高，裂缝张开度大，故认为注水井裂缝具有无限导流能力；同理，采油井裂缝张开度小，认为采油井裂缝具有有限导流能力。考虑采油井裂缝为有限导流，将采油井裂缝离散成n份，n值越大，计算结果越准确；再依据流线分布特征，任意一注采区域可以划分为n +2个计算单元。当n为3时，各注采区域可划分为 5个计算单元（图1b），计算单元 ①的流量沿着流线先流向 a 点，再在驱动压力梯度的作用下沿裂缝流向采油井；计算单元②，③和④的流量分别流入裂缝中的b，c和d点，与裂缝中的流量汇合后再在驱动压力梯度的作用下沿裂缝流向采油井。假设在各裂缝离散点之间的流动符合达西流动定律。

2 动态产能预测方法

对于低渗透油藏，存在启动压力梯度^[13]，当压力梯度一定时，存在一个确定的启动区域，只有在该区域内，流体能实现有效流动。完成注采区域和计算单元划分后，需先确定各计算单元的启动区域，再求解各计算单元启动区域内的产能；合并所有注采区域中各计算单元的产能，即可得到井网瞬时产能；最后运用物质平衡原理和稳定状态逐次替换法实现井网产能的动态预测。

2.1 启动区域的确定

在实际开采过程中，由于存在启动压力梯度，在一定压差下，整个注采区域一般不能全部启动，这时就需要确定各计算单元中可启动的区域。

可启动的最长流管长度表达式为：

对于三角形计算单元（图2），当 $d_{smax}$ > l₁ + l₂ 时，三角形计算单元全部启动；当 l₁ + l₂ > $d_{smax}$> l 时，三角形计算单元部分启动，启动角为 θ；当 $d_{smax}$ < l时，三角形计算单元不启动。

根据几何关系，可得最长流管长度的表达式为：

由（2）式可解得启动角θ值。

对于梯形计算单元，将所有梯形计算单元看做一个整体。设 d ₁ > d ₂，当 $d_{tmax}$< l₂ 时，无法建立驱动体系；当l₂ < $d_{tmax}$< d ₂时，启动区域为图3a所示的一个平行四边形；当d ₂ < $d_{tmax}$ < d ₁时，启动区域为图3b 所示的一个梯形；当d ₁ < $d_{tmax}$时，整个梯形计算单元全部启动。

2.2 各计算单元产能公式推导

计算单元的产能等于计算单元中所有流管的产能和。对于单一流管，根据低速非达西渗流的基本公式，在距注水井ξ处的截面的流量公式为：

对（3）式积分得：

由于计算单元形状不同，其流管产能计算方法不同，依据图1b 可知，注采区域内的计算单元可以分为三角形计算单元与梯形计算单元。

2.2.1 三角形计算单元

对于如图4 所示的三角形计算单元，油水井距为 l，油水井半径为 r _w，流管中心线 L由 L ₁和 L ₂组成，角度增量为 Δα和 Δβ。由 A端和 B 端出发的流管微元的截面积公式分别为：

将（5）式和（6）式代入（4）式，可得：

将（7）式积分得三角形计算单元产能为：

其中：

2.2.2 梯形计算单元

梯形计算单元如图5a 所示，梯形的上底 CD 和下底AB分别表示注水井裂缝和采油井裂缝，其长度分别为L_CD和L_AB。假设采油井裂缝长度是注水井裂缝长度的k倍且两者不相等，即L_AB =kL_CD，且k ≠1。在梯形计算单元内如图5b所示取微元流管，假设沿注水井裂缝的微元长度为 Δl，沿采油井裂缝的微元长度为 kΔl，流管中心线的长度为流管的长度，根据余弦定理，可得流管的长度为：

流管中心线与裂缝夹角的计算式为：

距采油井裂缝ξ_l处的流管截面积为：

将（11）式代入（4）式可得：

移项得：

对（13）式积分得梯形计算单元的产能为：

当 k =1 时，即采油井裂缝与注水井裂缝长度相等，计算单元为平行四边形，此时计算单元的产能为：

2.3 注采区域产能公式

通过推导得到各计算单元的产能计算公式，但由于采油井裂缝中各点压力未知，无法直接求解。

根据假设，可以认为计算单元①，②，③和④的产能分别为a，b，c和d四点处流入裂缝的流量，即出口端压力分别为a，b，c和d四点处的压力，且流体在裂缝中的流动遵循达西定律，即（1）式。根据流量相等的原则，可知油相和水相在储层和裂缝中的流动均满足如下方程组：

计算单元①—④的产能可由（8）式、（14）式和 （16）式联立求解，计算单元⑤的产能可直接由（8） 式求解；所用的物性参数为各计算单元的物性参数；K _fr可由各计算单元的出口端含水饱和度和相渗曲线求得。

各注采区域油、水的总产能可通过合并其中各计算单元的产能得到，其表达式分别为：

该方法在实际使用时，可划分更多计算单元以提高预测结果的准确性。

2.4 动态产能预测

根据物质平衡原理，采出的油量等于储层内水的增长量，其表达式为：

当时间步长较小时，根据稳定状态逐次替换法，可认为在该段时间内产能恒定，则各时间步地层平均含水饱和度的关系式为：

动态产能预测步骤主要包括：①划分单位时间，认为在单位时间内含水饱和度不变。②计算各计算单元平均孔隙度和渗透率。③根据相渗曲线和目前平均含水饱和度，计算油相和水相相对渗透率。④根据见水后岩心中平均含水饱和度与出口端含油率的关系，计算前缘含水饱和度。⑤根据 （17）式求解产能。⑥根据（21）式计算下一时刻的平均含水饱和度。⑦重复步骤③—⑥，实现一段时间的产能预测。

3 方法验证

基于大庆油田X区块的实际储层物性参数和压裂设计参数（表1），运用新建产能预测方法，进行编程求解动态产能。

将产能预测结果与大庆油田X区块的某高含水油井的实际生产动态数据（表2）对比可知，预测结果与实际生产动态数据的拟合程度较好，平均相对误差为 3.7%，在 5% 以内，可以满足现场需求，验证了本文产能预测方法的准确性。

4 影响因素分析

根据上述方法，拟定参数进行编程计算，研究压裂规模和储层物性对产能的影响，绘制不同参数下 31个月的产能变化曲线。所用参数如表3所示。

4.1 储层系数

储层系数与储层的绝对渗透率和厚度有关，主要反映了储层本身有利于渗流的性质。由不同储层系数下的采油井产能变化曲线（图6）可以看出：随着储层系数的增大，产能也明显增大，但产能增加的幅度有所减小；且储层系数越大，产能下降得越快，但最终不同储层系数的产能将趋于大体一致。因此，储层系数作为对压裂初期产能有较大影响的参数，在选择压裂层位时，应重点考虑。

4.2 储层非均质性

选取4组不同储层系数分别绘制其产能变化曲线，各组的裂缝直接控制区域和非直接控制区域的储层系数分别为：第 1 组 200 和 200 mD·m，第 2 组 200 和 100 mD·m，第 3 组 100 和 200 mD·m，第 4 组 100 和 100 mD·m。分析储层非均质性对产能的影响（图7）可知，第1组与第3组，第2组与第4组为裂缝直接控制区域的储层系数有所差异，其曲线主要在前期有较大差别，而后期基本重合。说明裂缝直接控制区域的储层系数的大小主要影响压裂初期的产能，对后期影响较小。第 1 组与第 2 组、第 3 组与第4组为非裂缝直接控制区域的储层系数有所差异，产能在 31 个月内均随储层系数的下降而下降，说明非裂缝直接控制区域的储层系数的大小对压裂后长时间内的产能均有影响。

4.3 裂缝无因次导流能力

裂缝无因次导流能力是油井增产作业中的主要参数，它是流体在裂缝中的流动能力与流体从地层中流动至裂缝的流动能力的比值。由不同裂缝无因次导流能力下采油井产能（图8）可以看出：当裂缝无因次导流能力较小时，裂缝无因次导流能力的增大对产能有明显的提高；当裂缝无因次导流能力较大时，裂缝无因次导流能力的增大对产能影响极小，当其达到一定值时，产能几乎不再随裂缝无因次导流能力的增大而增大；且随着裂缝无因次导流能力的增大，产能下降速度略微增大。因此，在压裂施工中，只需根据储层的实际情况确定适当的裂缝导流能力，即有较好的增产效果。

4.4 裂缝穿透比

裂缝穿透比是裂缝长度与井距的比值。为了研究压裂规模对产能的影响，选取 4 组裂缝穿透比对应的产能变化曲线。结果（图9）表明，随着裂缝穿透比的增大，裂缝控制面积变大，初期产能有一定的提高。但由于产能下降速度也随裂缝穿透比的提高而增大，后期产能提高不明显。

4.5 压裂初期剩余油饱和度分布

为了研究压裂初期剩余油饱和度分布对产能的影响，选取 4 组不同压裂初期剩余油饱和度分布对应的产能变化曲线，其裂缝直接控制区域和非直接控制区域的剩余油饱和度分别为：第 1 组 0.4 和 0.4，第 2组 0.45和 0.4，第 3组 0.4和 0.45，第 4组 0.45 和0.45。从图10可以看出，随注采区域整体的压裂初期剩余油饱和度的提高，各时期产能均有明显的提高，其中，裂缝直接控制区域的剩余油饱和度的提高对压裂初期产能影响较为明显。但随着产能的提高，产能下降的速度也明显变快，随着生产的进行，在2 a后产能的差异较小。

5 结论

考虑高含水期剩余油非均质性、储层系数非均质性及裂缝导流能力，运用流线积分法、物质平衡原理及稳定状态逐次替换法，建立各计算单元的产能计算方法，合并各计算单元产能，最终获得高含水期五点法压裂井网的动态产能。通过与实际生产动态数据进行对比，验证了该方法的准确性。

产能影响因素分析结果表明，储层系数越大，压裂初期剩余油饱和度越高，产能越高。储层系数的变化在压裂初期对产能的影响程度大于压裂后期。产能随裂缝无因次导流能力和穿透比的增大而增大，但是裂缝无因次导流能力对产能的影响随其增大而减小，在考虑经济因素后，可得到裂缝参数的最优值。

符号解释：

n ——裂缝等分份数；a，b，c，d，e ——裂缝离散点；d_s —— 三角形计算单元中可启动的流管长度，cm；p _h——注水井井底压力，MPa；p _f ——采油井井底流压，MPa；λ——启动压力梯度，10^-1 MPa/cm；l₁——注水井与采油井的水平距离，cm； l₂——注水井与采油井的垂直距离，cm；l ——三角形计算单元中注水井与采油井间距，cm；θ——三角形计算单元的启动角，（°）；α₀——三角形计算单元注水井处直角边与斜边的夹角，（°）；β₀——三角形计算单元采油井处直角边与斜边的夹角，（°）；d ₁——梯形计算单元中长腰长度，cm；d ₂——梯形计算单元中短腰长度，cm；d _{t max}——梯形计算单元中可启动的最大流管长度，cm；ξ——从井点处出发的流线长度，cm； Δq ——单流管中的流量，cm³ /s；K ——渗透率，mD；A ——流管截面积，cm²；μ——地层流体黏度，mPa·s；p ——生产压差， MPa；r _w——井径，cm；L ——三角形计算单元中流线长度， cm；L ₁，L ₂——三角形计算单元中注水井和采油井出发的流管的长度，cm；α——三角形计算单元注水井侧的启动角， （°）；β ——三角形计算单元采油井侧的启动角，（°）；Δα， Δβ——角度增量，（°）；α₁——三角形计算单元注水井侧某一流线与注水井和采油井连线的夹角，（°）；β₁——三角形计算单元采油井侧某一流线与注水井和采油井连线的夹角，（°）； A ₁——三角形计算单元中由A端出发的流管微元的截面积， cm²；h ——储层厚度，cm；A ₂——三角形计算单元中由B端出发的流管微元的截面积，cm²；q ——某一计算单元的产能， cm³ /s；L_AB，L_CD ——AB 和 CD 长度，即采油井裂缝和注水井裂缝的长度，cm；k ——采油井裂缝与注水井裂缝的长度比； d_l ——梯形计算单元中流管长度，cm；α_l ——流管中心线与裂缝的夹角，（°）；ξ_l ——由采油井裂缝出发的流管的长度，cm；A —— 距采油井裂缝 ξ_l 处的流管截面积，cm²； Q ₁，Q ₂，Q ₃，Q ₄，Q ₅——计算单元①，②，③，④和⑤的流量，cm³ / s；K _f ——裂缝渗透率，D；K _fr ——裂缝中的相对渗透率； A _f ——采油井裂缝截面积，cm²；p_a ，p_b ，p_c ，p_d ，p_e ——a，b，c，d各点和油井井底的压力，MPa；L_ab，L_bc，L_cd，L_de ——ab，bc，cd和de 两点间的距离，cm；Q _o ——注采区域中油相的总流量，cm³ /s； Q _o1，Q _o2，Q _o3，Q _o4，Q _o5——计算单元①，②，③，④和⑤中油相的流量，cm³ / s；Q _w—— 注采区域中水相的总流量，cm³ / s； Q _w1，Q _w2，Q _w3，Q _w4，Q _w5——计算单元①，②，③，④和⑤中水相的流量，cm³ /s；ϕ——孔隙度；S _w——含水饱和度；t ——生产时间，s。

参考文献