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近年来，随着中外常规油气勘探开发难度的加大，非常规油气已逐渐成为新的勘探领域。致密油继页岩气之后成为全球非常规油气勘探开发的新热点，在全球能源结构中成为重要角色。在致密砂岩、碳酸盐岩以及火山岩等大多数致密储层中，构造裂缝是油气渗流的重要通道和主要储集空间。因此对该类储层有效裂缝分布的准确预测和有效识别对油气勘探具有重要的实践价值[1-2]。
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裂缝的研究方法以岩心观察、测井预测等为主，长久以来岩心观察法是最直接、最有效和最可靠的方式，能够真实反映致密岩性段裂缝特征及分布状态，但受取心技术和取心成本等多重因素的限制，取心井和取心层段十分有限[3]。测井预测法是利用测井资料开展裂缝研究，由于测井资料包含丰富的裂缝信息，因此利用测井资料进行有效裂缝的识别成为重要的手段[4-5]。目前能够用于裂缝识别的测井技术包括电阻率测井、声波测井、放射性测井、地层倾角测井、密度测井、补偿中子测井以及电成像、声成像测井等[6]。其中成像测井可以直观清晰地得到井剖面的裂缝，包括裂缝的产状、有效性、展开程度和延伸情况[7]，但受制于成本较高的客观因素，在实际中可利用和分析的资料相对匮乏。而常规测井资料成本低廉、纵向连续性好而应用广泛。研究表明，裂缝识别的各类测井技术都有各自的优势和局限，单用其中一种方法难以有效解决裂缝识别和评价问题，因此为进一步提高裂缝识别水平，需对多种裂缝识别测井数据进行综合利用[8-9]。主成分分析法作为降维并综合提取的常用方法，对致密碎屑岩储层有效裂缝的识别已有多年研究，也取得了较多应用效果[10-12]。但主成分分析法在分析过程中仅对数据的线性结构具有较好的处理效果，对数据的非线性关系无法有效提取分析[13]，导致无法进一步提升裂缝识别的准确度。为此，需将其拓展到更高维空间，在更高维空间中实现数据非线性关系的线性可分。Hilbert 空间是三维空间的一个无限维推广，拓展到 Hilbert空间可提取到隐含在特征中的一些非线性结构和关系[14]，减少降维分析的信息损失，进一步提升对致密碎屑岩储层有效裂缝识别的精度。通过使用“希尔伯特空间、核函数、核主成分、致密碎屑岩储层、裂缝”等中英文关键词进行组合检索，发现 Hilbert空间和核函数等技术在致密碎屑岩储层的有效裂缝识别领域研究应用极少，为此，结合沁水盆地南部地区上古生界海陆过渡相致密碎屑岩储层有效裂缝分布的相关研究，运用 Hilbert空间和核函数等技术对该区开展深入研究，提高有效裂缝识别精度，以期为选取有利勘探目标提供依据。
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1 区域地质概况
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沁水盆地属于山西台隆的一个负向构造单元。研究区位于沁水盆地的南部，呈现西北低、东南高的变化趋势，自下而上发育前寒武系、寒武系、奥陶系、石炭系、二叠系、三叠系和第四系，其中二叠系包括山西组、下石盒子组、上石盒子组及石千峰组地层。自中生代印支运动以来，沁水盆地经历了多期构造活动，先后发生了深埋、多期构造旋回及强烈快速隆升剥蚀等构造演化。受多期古构造应力影响，研究区地层断裂发育。其中燕山期受近东西向挤压应力作用，形成了宽缓的 NE 向含煤向斜构造，同时形成了近NE和NNE向规模较小的正断层。研究区山西组主要发育三角洲平原相，包括以长石石英砂岩和中-粗粒岩屑砂岩为主的分流河道微相、黑色页岩与透镜体砂岩互层的分流间湾微相和灰色-黑色粉砂质页岩、页岩和泥炭为主的沼泽微相，该套地层整体属于陆表海浅水三角洲沉积体系[15-16]。山西组致密砂岩储层岩性主要为细-中粒长石石英砂岩及石英长石砂岩、岩屑砂岩和砾岩。受强烈压实及复杂的成岩作用影响，储集空间主要为次生孔隙、粒内溶孔、粒间溶孔及微裂缝，孔隙度为 1%～14.5%。受强烈的构造作用和成岩作用等因素影响，研究区裂缝类型及特征非常复杂，以张性缝及剪切缝发育为主，少量发育挤压缝及溶蚀缝[17]。张性缝、剪切缝、挤压缝及溶蚀缝在致密砂岩中占比分别为58.5%，28.5%，7%和6%，构造裂缝占比大于90%[18]。
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2 主成分分析法
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前期研究结果表明，仅用一种测井技术很难对裂缝进行有效识别，为提高识别精度通常会使用多种测井数据，导致在多维的测井数据中难以对裂缝进行识别评判。主成分分析法是常用的线性特征提取和降维的方法，可以在保留绝大多数样本数据原始信息的基础上，既能降低维度和识别难度[19]，又能进行综合分析[20]，其评价结果真实可靠，在地质勘探中常被重点使用[21]，被证实是一种科学评价方法[22-23]。其计算方法包括以下步骤。
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第一步，构建样本矩阵。设n个p维样本观察点 ，构成n ×p样本矩阵，其表达式为：
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第二步，对数据进行中心化。其表达式为：
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其中：
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第三步，计算协方差矩阵。其表达式为：
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第四步，分解协方差矩阵特征值。其表达式为：
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第五步，计算前 k 个主成分的累积贡献率。选择前 k 个主成分，将原数据由 p 维降为 k 维，其表达式为：
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第六步，计算前k（ xi，xj）个主成分值。其表达式为：
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累积贡献率越大，主成分所包含的原始变量的信息越多。在主成分个数的选取中，一般要使累积贡献率达80%以上，同时也要结合实际进行科学选取，如使用多种测井数据对裂缝进行识别时不好直观体现，可对多维测井数据进行主成分处理，选择前 2 个主成分将其降为二维，用二维图表直观地表现出识别结果。
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3 Hilbert 空间有效裂缝识别方法及建模
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3.1 Hilbert空间
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主成分分析法是利用线性投影对数据进行分析降维，对数据中的线性结构能够进行较好的处理。线性方法的基本思路是利用映射矩阵，在特征空间找一个最优分类面将不同样本线性分开。以两类样本数据为例，通过对原始空间混叠的线性结构数据进行线性映射后，可以找到一条直线在特征空间将两类样本分开（图1）。
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但是在实际应用中，所要处理的目标数据不可能都由线性函数组合产生，通常呈现出更加复杂和更加抽象的非线性特征，主成分分析法对此类数据的处理效果不理想，在特征空间无法找到分类面将两类样本分开，这也是传统的线性特征提取算法共同面临的困难（图2）。
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图1 线性可分示意
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Fig.1 Diagrams of linear separability
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图2 线性不可分示意
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Fig.2 Diagrams of linear indivisibility
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为得到非线性分界面进行线性投影，需将样本数据映射到更高维空间。Hilbert 空间是现实空间的一个无限维推广，在 Hilbert空间用线性模型进行分类，实现非线性数据的线性可分（图3）。
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图3 非线性特征提取示意
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Fig.3 Diagrams of nonlinear feature extraction
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3.2 核函数
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在低维空间下线性不可分的数据结构映射到 Hilbert空间可实现线性可分，但这种思路会遇见两个难题：一是无法确定什么样的非线性映射适合，因为每个不同具体应用都会有不同适合的非线性映射。二是无法确定非线性映射的形式、函数参数和空间维数等，特别是当映射的 Hilbert空间维度过高时，会导致在高维空间运算出现“维数灾难”，引发计算开销过大的致命问题。为解决上述问题，需要找到一种具有通用性的函数替代非线性映射，代替数据在 Hilbert空间进行计算，使用核函数是最有效的方法。
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核函数就是把向量xi和xj经过非线性映射在非线性空间上的内积用原空间的 2个向量的 1个函数表示[24]。其表达式为：
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常见的核函数还有多项式核：
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在实际计算中可以直接定义一个核函数，由该核函数隐式地定义非线性映射空间。根据核函数原理，使用核函数不需先确定具体映射的形式，因为每给定一个核函数，都能构建一个相关联的特征空间，由给定的核函数表示出此特征空间中的内积。另外在 Hilbert 空间中，每给定一个核函数，特征向量的内积可以通过给定的核函数用原空间中的输入向量直接计算得出，原数据映射到 Hilbert空间后的计算量不会随空间维数的升高而急剧增加，即可有效避免计算中的“维数灾难”。其计算方法包括以下步骤。
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第一步，对样本数据进行非线性变换，得到变换后的样本矩阵：
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第二步，根据核希尔伯特空间的再生理论，样本点之间的内积可表示为：
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第三步，利用核函数计算样本点内积矩阵：
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第四步，通过内积矩阵计算出主成分值，实现非线性结构的线性可分。
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3.3 基于核函数的核主成分分析法
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通过 Hilbert 空间的映射可解决主成分分析对数据的非线性结构无法处理的缺陷[25]，形成具备线性和非线性处理能力的核主成分分析法[26]。核主成分分析法的核心是利用核函数将样本数据从原始空间映射到Hilbert空间，然后对Hilbert空间的数据执行主成分分析，从而实现特征提取。其主要原理包括以下步骤。
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第一步，计算n ×n的Kernel矩阵：
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第二步，中心化Kernel矩阵：
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第三步，特征值分解：
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第四步，标准化特征向量：
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第五步，按照累积贡献率大于 80% 的原则，计算前k（ xi，xj）个主成分值：
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4 Hilbert空间有效裂缝识别对比
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4.1 构建目标评价矩阵
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在前期研究中，丁文龙等通过对目标地区地质资料的论证分析，建立了基于测井曲线的裂缝识别体系[27-28]。以该体系为基础，根据岩心裂缝的发育程度，将目标碎屑岩储层中的裂缝分为不发育裂缝、未充填裂缝、半充填裂缝以及全充填裂缝4种类型，综合分析各影响因素，甄选横波时差、纵波时差、孔隙度、浅侧向电阻率、自然伽马和密度等 6 条测井曲线进行识别，建立了基于上述 6 条曲线的样本矩阵。
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主成分分析法的基本逻辑是样本数据之间具有较强相关性，并非所有数据都适合进行主成分分析。因此在进行主成分分析前，应先进行 KMO （Kaiser-Meyer-Olkin）检验和巴特利（Bartlett）球体检验。其中 KMO 检验用于检查变量间的相关性和偏相关性，取值为0～1，越接近于1表示变量间的相关性越强，越适合做主成分分析，效果越好；越接近于 0 越不适合做主成分分析，公认 KMO 值在 0.7 以上适合进行主成分分析。Bartlett 球形检验根据样本数据计算 Bartlett 统计量近似服从卡方分布和自由度（df），根据卡方值和 df 值对照卡方值表来进行判断是拒绝还是不能拒绝，专业统计软件会根据计算所得的卡方值和自由度值自动对照卡方值表提供显著性值，如果显著性值低于 0.05，则拒绝零假设，即样本数据适合做主成分分析。
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用 SPSS（Statistical Product and Service Solu⁃ tions）软件对样本矩阵进行信效度检验。KMO值为 0.800；Bartlett 的球形检定值为 1 424.940 卡方，df值为 15，对照卡方值表对应的显著性值为 0。按照 KMO 值应大于 0.7 和显著性概率小于 0.05 的原则，说明样本矩阵信效度良好，适合进行主成分降维分析。
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4.2 传统主成分分析法的应用分析
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对样本矩阵进行传统主成分分析。从表1可以看出，主成分 1 的方差贡献率为 75.887%，主成分 2 的方差贡献率为 12.673%，前 2 个主成分的累积贡献率为88.560%，按照累积贡献率大于80%的原则，传统主成分分析法已较好地保留了样本矩阵的相关信息。
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4.3 基于Hilbert空间的核主成分分析
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传统主成分分析法得到目标矩阵累积贡献率为 88.560%，损失了 11.440% 的信息，这与主成分分析法作为线性函数无法处理非线性数据的缺陷有直接关系。为此，利用（9）式将主成分分析法拓展到 Hilbert空间形成多项式核主成分分析法，对样本矩阵进行主成分分析，得样本矩阵映射 Hilbert空间分析结果（表2）。
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评判主成分分析结果优劣的最重要指标是累积贡献率，原始信息损失越少，其分析评价结果越精确科学。从表2 可以看出，主成分 1 的方差贡献率为 88.790%；主成分 2的方差贡献率为 6.010%；前 2个主成分累积贡献率达94.800%，比传统主成分分析法提高6.240%，说明原样本数据中非线性的结构和关系被进一步分析，更大程度保留了原样本数据的初始信息，因此基于 Hilbert空间的核主成分分析对裂缝识别的效果具有更高的精确度和准确率。
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4.4 基于Hilbert空间的有效裂缝识别结果分析
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综上分析表明，基于 Hilbert空间的核主成分分析能够对样本目标进行有效识别，因此按照核主成分分析的主要步骤，根据（13）—（17）式，对由横波时差、纵波时差、孔隙度、浅侧向电阻率、自然伽马和密度等测井数据构成的样本矩阵计算主成分 1 （P1）和主成分 2（P2）值，以 P1值为横坐标，P2值为纵坐标，将计算所得的 P1 和 P2 值进行交汇得研究区有效裂缝识别图版（图4），利用该图版可以有效区分不发育裂缝与发育裂缝的储层，不发育裂缝储层的数据整体呈负相关，发育裂缝储层的数据呈正相关（零星样品因为岩石属性较为类似，数据点存在轻微混杂的现象）。
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图4 沁水盆地南部地区山西组有效裂缝识别结果
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Fig.4 Effective fracture identification result of Shanxi Formation in south Qinshui Basin
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在对不发育裂缝与发育裂缝进行识别的基础上，进一步对发育裂缝中的全充填裂缝、半充填裂缝、未充填裂缝进行进一步识别（图5）。全充填裂缝的储层数据分布集中，具有较高 P2值，能够与半充填、全充填裂缝有效区分。半充填和全充填裂缝储层的数据较为分散，呈正相关，斜率相近。部分数据存在混杂现象，分析认为由于裂缝开度和裂缝充填程度等差异所致，充填程度高的与全充填裂缝存在混杂现象，充填程度低的与未充填裂缝存在混杂现象。
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图5 沁水盆地南部地区山西组裂缝充填识别结果
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Fig.5 Filled fracture identification results of Shanxi Formation in south Qinshui Basin
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5 结论
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利用核函数将主成分分析法拓展到 Hilbert 空间形成核主成分分析法，在 Hilbert空间下主成分分析的非线性处理能力有效加强，进一步实现了对数据信息有效提取和降维分析的目的。利用该方法对研究区致密碎屑岩储层的有效裂缝进行识别，结果表明主成分累积方差贡献率达到了 94.800%，比传统主成分分析法的提高了6.240%，有效地识别了不同类型的储层裂缝，极大提高了对致密碎屑岩储层有效裂缝识别的精确度。致密碎屑岩储层有效裂缝识别的验证结果表明，基于更高累积贡献率和更少原始信息损失，在 Hilbert空间下核主成分分析法的效果更加科学准确。
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符号解释
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n ——样本观察点的个数，个；p ——样本观察点的维数，维；X ——样本矩阵；Cn——中心化矩阵；In——列向量行数；1n——每个分量都是 1的列向量；U ——特征向量矩阵； Lk—— 前 k 个累积贡献率，%；λ—— 主成分方差； k（ xi，xj）——主成分数量，个；u ——特征向量；Fk——前 k个主成分值；Φ（ x）——非线性映射函数；（G）ij ——样本点内积矩阵；（K）ij ——Kernel矩阵。
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摘要
裂缝性致密碎屑岩是一种重要的油气储层，其裂缝发育段识别及预测是研究的关键。研究表明，主成分分析法在裂缝别识中具有良好的效果。为进一步改进主成分分析法对数据非线性结构处理能力不足的缺陷，将其拓展到Hilbert空间，利用核函数优化成核主成分分析法，有效提高了对样本数据的非线性分析能力和提取识别的精确度。对沁水盆地南部地区山西组致密碎屑岩储层有效裂缝进行识别，主成分 1 和主成分 2 的累积贡献率提高至 94.800%，较传统主成分分析法提高了6.240%。运用优化后的核主成分分析法对有效裂缝进行识别，能够更加有效区分致密碎屑岩储层发育裂缝与不发育裂缝，同时能够进一步识别未充填裂缝与半充填、全充填裂缝储层，提高对致密碎屑岩储层有效裂缝的识别精度。
Abstract
Fractured tight clastic rock is an important hydrocarbon reservoir，and identification and prediction of its fracture development section is important. Research indicates that the principal component analysis method is effective in fracture identification. In order to further improve the defect of principal component analysis in dealing with data non-linear struc- ture，the method is projected into the Hilbert space，to form the kernel principal component analysis（kernel PCA）utilizing the kernel function，which effectively improves the ability of non-linear data analysis and the accuracy of data extraction and identification. The effective fractures of the tight clastic reservoir of Shanxi Formation in south Qinshui Basin are identi- fied. The cumulative contribution rate of the principal component 1 and 2 is increased to 94.800%，which is 6.240% higher than that of the traditional principal component analysis（PCA）. Using the optimized kernel PCA to identify the effective fractures can more effectively distinguish the fractured stratum and the non-fractured stratum of the dense clastic rock，and can further identify the unfilled，the half-filled，and the full-filled fractured formation，which improves the identification ac- curacy of the effective fracture in dense clastic rock reservoirs.
