中国特低-超低渗透油藏已成为勘探开发的主体，以鄂尔多斯盆地长6和长8储层为代表的特低-超低渗透油藏虽能进行水驱开发，但由于储层特征的影响，水驱波及效率低，开发评价难度大^[1-3]。水驱开发过程中，平面波及系数是评价油藏水驱开发的一项重要指标，也是进行井网优化调整的基础^[4-5]，其计算方法包括解析法^[6-8]、油藏数值模拟法^[9-10]、流线模拟法^[11]和基于流管理论的流管法^[12-15]。其中，流管法将原本油藏流体的二维流动转变为沿流管的一维流动，具有建立简便和计算速度快的优点。计秉玉等最早提出的流管法，将低速非达西渗流公式沿单流管积分得到单根流管的产量公式，用于面积井网产油量的计算^[12]。郭粉转等引入B-L方程，将单流管的流量代入B-L方程，计算各流管内的水驱前缘波及范围^[13]。朱圣举等完善了五点法井网、反七点法井网和反九点法井网的流管法计算平面波及系数的公式^[14]。何聪鸽等考虑了低渗透油藏的各向异性，通过坐标变换将各向异性油藏转变为等效各向同性油藏进行求解计算^[15]。刘翀等考虑了稠油的油水性质差别，建立了稠油油藏非活塞驱替的平面波及系数计算方法^[16]。孙强等考虑了渗流空间的不完善性，对含有窄河道的油藏进行流管划分，计算其平面波及系数^[17-18]。陈冠中等将流管法用于示踪剂解释^[19]。目前，低渗透油藏流管模型存在的问题包括：未考虑裂缝的影响； 在两相计算过程中忽略了油水黏度差异；流管模型的划分基于规则井网，无法实现非规则井网的模拟计算；未建立一套综合考虑启动压力梯度、各向异性、人工压裂裂缝以及非活塞水驱油 4 个渗流特征的低渗透油藏流管模型。

传统流管模型中已考虑了低渗透油藏的启动压力梯度和各向异性，笔者进一步引入压裂缝流管计算单元，完成了压裂缝在流管模型中的表征；结合等饱和度面移动方程，克服了流管模型未考虑油水黏度差异的缺点，实现了流管中沿程非活塞水驱油渗流特征；运用流管计算单元独立计算和重组的方法，突破了不规则井网流管计算的限制。在流管模型修正基础上，编制了低渗透油藏的水驱平面波及快速计算模块，研究了井网形式、井排距比和各向异性对水驱平面波及系数的影响，形成了井排距比优化图版，以期为对低渗透油藏水驱平面波及评价及开发调整提供理论基础和依据。

1 低渗透油藏流管模型对各渗流特征的处理方法

1.1 启动压力梯度的处理

采用拟启动压力梯度法刻画低渗透油藏渗流特征^[12]。一条流管中位置为 ξ 的截面流量可表示为：

1.2 各向异性的处理

在生产过程中，低渗透油藏因天然裂缝的沟通或张开，导致沿裂缝方向渗透率明显大于其他方向的渗透率。通过引入等效各向同性渗透率，可以将各向异性油藏坐标系转换为等效的各向同性油藏坐标系，再进行流管的划分与计算^[15，20]。转换式可表示为：

1.3 人工裂缝的处理与流管划分

任一井组均可划分为含有注水井和生产井的流管计算单元（图1a），在各流管计算单元内又可划分为若干根流管进行计算。对于低渗透油藏，需对生产井进行水力压裂制造人工裂缝确保生产井具有一定的产能。考虑生产井井底人工压裂裂缝的存在，假设人工裂缝为无限导流能力裂缝，即裂缝压力与生产井井底流压相同，同时裂缝方向总与井网主方向一致，引入含有注水井和裂缝的三角形流管计算单元（图1b），注入水沿各流管直接流向生产井井底裂缝。

将一个流管计算单元划分为 n₁根流管，一注一采流管计算单元（图1a）中，在第 i 根流管中任意位置ξ处流管的截面积计算式为：

一注一裂缝流管计算单元（图1b）中，在第 i 根流管中任意位置ξ处流管的截面积计算式为：

1.4 不同井网类型及不同注采井控制方式的处理

在规则井网下以一个完整井组为代表，进行水驱平面波及研究。含有裂缝的井网可划分为若干个一注一采流管计算单元和一注一裂缝流管计算单元（图2）。各流管计算单元间的计算互不干扰，可编写程序并行计算各流管计算单元的水驱波及系数。在实际油藏开发的生产阶段，由于射孔不完善、砂体不连续和老井套损等原因，导致平面上无法构成完善的注采井网。针对不规则井网，同样可根据井位将其划分为若干个流管计算单元，分别计算各流管计算单元的平面水驱波及系数。

将单根流管截面流量方程（（1）式）沿流管积分，可得到单根流管的产量公式。当注采井间以定生产压差生产时，各流管的流量为：

当生产井以定流量生产时，需要根据各流管的渗流阻力劈分流量。（5）式可简化为：

则该流管计算单元的总流量表达式为：

联立（6）式和（7）式，共有n₁ + 1个方程，同一个流管计算单元内注采压差相同，则方程内共有n₁ +1 个未知数（q₁，q₂，...，q_n1，Δp），求解方程组可以得到各流管的产量。

1.5 单根流管两相区油水差异的处理

为区分流管内油水黏度差异、相渗差异，需要计算单根流管两相区内的油水分布情况。

生产井见水前流管内的油水分布计算 生产井见水前，流管内水驱前缘之后部分为单相流动区，水驱前缘之前的部分为油水两相流动区，结合等饱和度面移动方程，两相区各网格的含水率导数计算式为：

生产井见水后流管内的油水分布计算 生产井见水后，流管内均为两相流动，计算方法与生产井见水前类似。每个网格的含水率导数可表示为：

（8）式和（9）式由等饱和度面移动方程推导所得^[21]。求取流管内各网格的含水率导数后，可根据已有的含水率导数曲线插值得到各网格内的含水饱和度。

2 流管模型计算流程及模型验证

2.1 计算流程

一注一采流管计算单元各流管内初始时刻的渗流阻力表达式为：

一注一裂缝流管计算单元各流管内的渗流阻力表达式为：

生产过程中，由于水从注入井注入，流管内存在两相区，所以使用数值积分的方法求各流管的渗流阻力：

流管模型通过 MATLAB 编程计算所得，具体计算流程（图3）为：①输入井位坐标、流体性质、油藏性质和计算步长、时间，将各向异性坐标系下的井网转换为等效各向同性坐标系下的井网，划分流管计算单元，输入流管划分条数和单根流管网格数。 ②计算各流管的渗流阻力。初始时刻流管内为单相油，可以使用相应的渗流阻力计算公式（（10）式或（11）式）计算各流管的渗流阻力。③流管流量计算。在生产井定生产压差生产的情况下，将各流管的渗流阻力代入（5）式直接计算各流管的流量；在生产井定产量生产的情况下，将各流管的渗流阻力代入（6）式和（7）式，求解方程组可得到各流管划分的流量。④求解水驱前缘位置，利用水驱前缘的等饱和度面移动方程式（（13）式）即可求得各流管内水驱前缘位置，然后根据水驱前缘位置，利用波及的体积除以流管的总体积计算平面波及系数。⑤ 重新计算各流管内油水分布。若流管内的水驱前缘未到达生产井，采用（8）式计算各网格的含水率导数；若流管内的水驱前缘已到达生产井，采用（9） 式计算各网格的含水率导数，然后依据含水率曲线反求各网格的含水饱和度。⑥重复步骤②—⑤计算下一时刻的水驱波及情况，直到输入的计算时间为止。

水驱前缘的等饱和度面移动方程式为：

2.2 模型验证

分别采用流管模型和商业数值模拟软件（tNavigator）模拟鄂尔多斯盆地长庆油区L1油藏典型井组的水驱波及状况。研究油藏位于长 8 储层，单斜构造，主力层厚度为 10 m，平均孔隙度为 12%，井网主向渗透率为 0.5 mD，垂直井网主向渗透率为 0.1 mD，是典型的低孔特低渗透油藏^[22]。目前采用菱形反九点法井网开采，井距为200 m，排距为100 m，对生产井进行水力压裂改造，裂缝缝长约 50 m（在数值模拟软件中，水力压裂裂缝采用离散裂缝网格表征）。地层原油黏度为 2.3 mPa·s，地层水黏度为 0.6 mPa·s，相对渗透率曲线如图4所示，不考虑毛细管力，注采压差为20 MPa。

从研究井组生产20 a时流管模型计算的流线分布和饱和度场分布与数值模拟模型计算的结果（图5）对比可以看出，流管模型计算结果与数值模拟模型计算结果基本一致，可准确计算平面波及状况及剩余油分布特征。从2种模型计算得到的生产井的生产动态曲线对比（图6）可以看出，流管模型可较准确预测生产井的生产状况和预测油井见水时间。数值模拟模型考虑了人工裂缝，对裂缝周围网格进行局部加密处理，网格数目增加，并且离散裂缝网络的网格属性急剧变化，初始计算的收敛性难以得到保证，模型计算时间为 116 s，而流管模拟的计算时间仅为0.48 s。

3 水驱平面波及程度影响因素分析

3.1 启动压力梯度

油藏基本参数与模型验证部分一致，控制单一变量，利用流管模型计算可得不同的启动压力梯度下生产 20 a 时的水驱平面波及程度（图7）。从图7 中可以看出，低渗透油藏的启动压力梯度增大时，水驱平面波及程度明显减小，其原因为：启动压力梯度增大时注采井间的有效注采压力降低，一方面部分流管无法动用，另一方面可动用的流管水驱波及速度降低，从而导致水驱平面波及系数减小，注水井注不进，生产井采不出的状况。

3.2 各向异性

使用横向和纵向的渗透率之比来表示各向异性。不同的各向异性下，研究井组生产 20 a时的水驱平面波及程度不同（图8），当各向异性增大时，注入水沿主渗流方向突进加剧，主渗流方向生产井更易水淹。

在实际生产中，对于具有特定各向异性油藏，需要优化井排距，减缓生产井水淹，从而提高水驱平面波及程度。这里选取了油藏渗透率（0.1，0.5和 1 mD）、各向异性（1，5，10 和 20）和井排距比（1，2，3 和 4）3 组自变量，形成了 48 组参数组合，利用流管模型计算并制作菱形反九点法井网不同储层物性下，不同井排距比的平面波及系数图版（图9）。从图9 可以看出，储层物性对井排距比的优化影响不大，井排距比与各向异性的关系是判断油藏水驱是否均匀的主要指标。对于菱形反九点法井网，根据油藏各向异性，可以得到不同井排距比下的水驱平面波及系数，为进一步井网优化调整提供依据。

3.3 人工裂缝

控制单一变量，改变裂缝的长度，分析人工裂缝半长为 15，25，35和 50 m 下油藏的水驱平面波及程度和累积产油量曲线（图10）。人工压裂裂缝虽能通过减少部分流管的长度而减少对应的渗流阻力，单井产量增加，水驱平面波及速度增大，但是渗流阻力减小的有限，不同裂缝的水驱平面波及差别不大。生产初期改造强度大的井可使其产液能力更高，但见水时间早，生产中后期反而由于生产井水淹，产油量降低。所以在实际的低渗透油藏注水开发中，建议改造程度适中，进行水力压裂产生较短的裂缝，在生产初期可有效改善油井周围的储层，提高初期产能，若改造裂缝太长，注入水波及至裂缝尖端，生产井水淹严重。

3.4 井网形式

低渗透油藏的开发一般采用面积注水井网，利用流管模型研究分析相同井网密度条件下，低渗透油藏使用五点法井网、菱形反九点法井网和不规则的反九点法井网形式开发的水驱平面波及程度。从图11中可以看出，五点法井网水驱前缘移动更均匀，生产井几乎同时见水；菱形反九点法井网中注水井与其周围的 4 口边井间区域易形成有效驱替，但是边井与角井间的三角形区域难以波及到，所以实际生产中后期菱形反九点法井网常配合角井转注，以增大水驱动用区域；且当井网不完善时，在缺少生产井的方向上，无法形成有效驱替，水驱平面波及范围较小。

利用流管模型计算可得到典型井组生产 30 a 时，不同井网形式的水驱平面波及系数。结果（图12）表明，相同井网密度条件下，五点法井网的井排距小于菱形反九点法井网，更易建立有效驱替，相同生产时间下平面水驱波及效果更好；同时，对比菱形反九点法井网与不规则反九点法井网的水驱平面波及系数曲线可以看出，低渗透油藏由于射孔不完善、套损等原因造成的井网不完善会对水驱平面波及造成影响，开发过程中应注意井间的注采对应性，并及时补孔。

4 结论

通过引入坐标变换、启动压力梯度公式、带裂缝的流管划分方法和非活塞驱流管数值计算的方法，建立了低渗透油藏平面波及系数计算的流管模型，该模型可系统地考虑低渗透油藏的人工压裂裂缝、启动压力梯度、各向异性和油水非活塞驱替的影响。以此为基础编制了相应的流管法计算模块，实现了低渗透油藏水驱开发条件下，平面波及的快速表征，与数值模拟方法验证表明，在保证足够精度的同时，可大大提高计算效率，为实际油藏生产中井网评价及井网优化调整提供依据；同时拟将流管模型用于多层系地层的水驱波及状况计算和多段压裂水平井段间驱替效率的计算中，相关研究在进展中。

符号解释

A（ξ）——截面的横截面积，m²；

d——注水井到生产井或裂缝一端的距离，m；

f_w（S_w，_ij）——含水率，小数；

h——储层厚度，m；

i——流管的编号；

j——流管网格的编号；

K——储层渗透率，mD；

K_ro——油相相对渗透率；

K_rw——水相相对渗透率；

K_x——各向异性坐标系下x方向的渗透率，mD；

K_y——各向异性坐标系下y方向的渗透率，mD；

L_i ——第i根流管的长度，m；

n₁——流管计算单元内划分的流管总数；

N₂——单根流管划分的网格数目；

p——注采井间任意一点的压力，MPa；

Δp——注采压差，MPa；

Δq——截面的流量，m³；

q_i ——第i根流管的流量，m³；

Q——流管计算单元的总流量，m³；

r_w——井筒半径，m；

R——单根流管的渗流阻力，（MPa·d）/m³；

R_i ——第i根流管的渗流阻力，（MPa·d）/m³；

S_wf ——水驱前缘含水饱和度，小数；

S_wo——生产井井底含水饱和度，小数；

t——时间，月；

T——生产时间，月；

T_E——目前为止注采井组生产总时间，月；

V_i——第i条流管的体积，m³；

V_ij ——流管内任意网格位置之前流管的体积，m³；

V_wf ——水驱前缘之前流管的体积，m³；

x——等效各向同性坐标系下x方向的坐标，m；

x′——各向异性坐标系下x方向的坐标，m；

y——等效各向同性坐标系下y方向的坐标，m；

y′——各向异性坐标系下y方向的坐标，m；

α——流管计算单元中以注水井为顶点的角，（°）；

Δα——单根流管在注水井端的角度，（°）；

β——流管计算单元中生产井或裂缝端点为顶点的角， （°）；

Δβ——单根流管在生产井或裂缝端点端的角度，（°）；

λ——启动压力梯度，MPa/cm；

μ_o——地层原油黏度，mPa·s；

μ_w——地层水黏度，mPa·s；

ϕ——孔隙度，小数；

ξ——流管中任意位置，m。

参考文献