两类产量递减模型在预测页岩气井和致密气井中的应用与对比

陈元千，傅礼兵，徐佳倩; CHEN Yuanqian; FU Libing; XU Jiaqian

两类产量递减模型在预测页岩气井和致密气井中的应用与对比

陈元千¹
机构：
1. 中国石油勘探开发研究院，北京 100083
×
，傅礼兵¹
机构：
1. 中国石油勘探开发研究院，北京 100083
×
，徐佳倩^1,2
机构：
1. 中国石油勘探开发研究院，北京 100083
2. 中国石油大学（北京）石油工程学院，北京 102249
×

1. 中国石油勘探开发研究院，北京 100083；
2. 中国石油大学（北京）石油工程学院，北京 102249；

Application and comparison of two production decline models in shale gas wells and tight gas wells

CHEN Yuanqian¹
Affiliation：
1. Research Institute of Petroleum Exploration and Development，PetroChina，Beijing City， 100083 ，China
×
，FU Libing¹
Affiliation：
1. Research Institute of Petroleum Exploration and Development，PetroChina，Beijing City， 100083 ，China
×
，XU Jiaqian^1,2
Affiliation：
1. Research Institute of Petroleum Exploration and Development，PetroChina，Beijing City， 100083 ，China
2. College of Petroleum Engineering，China University of Petroleum（Beijing），Beijing City， 102249 ，China
×

1. Research Institute of Petroleum Exploration and Development，PetroChina，Beijing City， 100083 ，China；
2. College of Petroleum Engineering，China University of Petroleum（Beijing），Beijing City， 102249 ，China；

作者简介:

陈元千(1933—),男,河南兰考人,教授级高级工程师,1952年考入清华大学石油工程系,1956年毕业于北京石油学院钻采系,长期从事油气藏工程、油气田开发和油气储量评价工作。E-mail:525980269@qq.com。

中图分类号:TE32⁺8

文献标识码:A

文章编号:1009-9603(2021)03-0084-06

DOI:10.13673/j.cnki.cn37-1359/te.2021.03.010

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参考文献 1

ARPS J J.Analysis of decline curves［J］.AIME，1945，160：228-247.

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参考文献 2

陈元千，唐玮.广义递减模型的建立及应用［J］.石油学报，2016，37（11）：1 410-1 413.CHEN Yuanqian，TANG Wei.Establishment and application of generalized decline model［J］.Acta Petrolei Sinica，2016，37（11）：1 410-1 413.

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参考文献 3

陈元千，吕恒宇，傅礼兵，等.注水开发油田加密调整效果的评价方法［J］.油气地质与采收率，2017，24（6）：60-64.CHEN Yuanqian，LÜ Hengyu，FU Libing，et al.Evaluation meth⁃ od of infilling adjustment effect for waterflooding development oil⁃ fields［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2017，24（6）：60-64.

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参考文献 4

陈元千，周翠.线性递减类型的建立、对比与应用［J］.石油学报，2015，36（8）：983-987.CHEN Yuanqian，ZHOU Cui.Establishment，comparison and ap⁃ plication of the linear decline type［J］.Acta Petrolei Sinica，2015，36（8）：983-987.

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参考文献 5

陈元千，傅礼兵.幂函数递减模型的建立、对比与应用［J］.油气地质与采收率，2019，26（6）：87-91.CHEN Yuanqian，FU Libing.Establishment，comparison and ap⁃ plication of power function decline model［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2019，26（6）：87-91.

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参考文献 6

陈元千，徐佳倩，傅礼兵.预测页岩气井产量和可采储量泛指数递减模型的建立及应用［J］.油气地质与采收率，2021，28（1）：132-136.CHEN Yuanqian，XU Jiaqian，FU Libing.Establishment and ap⁃ plication of pan exponential decline model for forecasting produc⁃ tion rate and recoverable reserves of shale gas wells［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2021，28（1）：132-136.

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参考文献 7

VALKÓP P，LEE J W.A better way to forecast production from un⁃ conventional gas wells［C］.SPE 134231，2010.

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参考文献 8

何培，冯连勇，TOM Wilber.马塞勒斯页岩气藏单井产量递减规律及可采储量预测［J］.新疆石油地质，2015，36（2）：249-252.HE Pei，FENG Lianyong，TOM Wilber.Production decline rule and recoverable reserves prediction of Marcellus shale gas well in a production unit，Pennsylvania，US［J］.Xinjiang Petroleum Geol⁃ ogy，2015，36（2）：249-252.

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参考文献 9

LEE J W.Gas Reservoir engineering［M］.Richardson TX：Society of Petroleum Engineers，1995：217-218.

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摘要 Abstract
关键词 Keywords
1 两类递减模型的对比
1.1 双曲线递减模型及求解方法
1.2 泛指数递减模型及求解方法
2 实例应用与对比
2.1 页岩气井的应用和对比
2.1.1 双曲线递减模型的应用
2.1.2 泛指数递减模型的应用
2.2 致密气井的应用和对比
2.2.1 双曲线递减模型的应用
2.2.2 泛指数递减模型的应用
3 结论
参考文献

摘要

产量递减模型是评价油气井与油气藏产量和可采储量的重要工具。它的有效应用不受储集类型、驱动类型、流体类型、压裂类型和开采方式的限制。只要油气井和油气藏的产量进入递减阶段，并拥有一定的生产数据，即可进行有效预测。多年的实际应用证实，Arps于1945年提出了指数、双曲线和调和递减模型，其中双曲线递减模型是一种具有代表性的模型。陈元千等近年提出的泛指数递减也是一种具有实用价值的预测模型。从理论上讲双曲线递减模型的递减指数n值为0～1，实用的有效范围为0～0.5。对于泛指数递减模型的泛指数m，理论上为0～1，有效范围为0.5～1。应当指出，当n =0或m =1时，由两类递减模型均可得到指数递减模型。当n =0.5或m =0.5时，由两种递减模型均可得到具有实用价值的预测模型。本文提出了预测页岩气井和致密气井产量、累积产量、可采储量、递减率、无因次产量和无因次累积产量的关系式。通过实例应用表明，两类模型的预测结果基本上是相同的。

Abstract

The production decline model is of vital importance to predicting the production rates and recoverable reserves of oil-gas wells and reservoirs. Its effective application is not limited by the ways it is reserved，driven，fractured，and recov- ered as well as the fluid in it.In the decline stage of production rates，the production rates and recoverable reserves can be predicted with enough production data. After years of application，Arps，in 1945，created the exponential decline model，the harmonic decline model，and，more importantly，the representative hyperbolic decline model. Moreover，the pan exponential decline model is practically valuable. Theoretically，the decline exponent n of the hyperbolic decline model ranges from 0 to 1 and the model is practical when n falls between 0 and 0.5. However，the pan exponent m of the pan exponential decline model can be valued at，in theory，between 0 and 1. The model is feasible when m ranges from 0.5 to 1. For n =0 or m =1 of the corresponding models，the exponential decline model can be obtained. For both n =0.5 and m =0.5，practical models can be built. The formulas of production rates，cumulative productions，recoverable reserves，decline rates，dimensionless pro- duction rates，and dimensionless cumulative productions of shale gas wells and tight gas wells，and dimensionless cumula- tive productions are proposed. According to application cases，the two models made similar predictions.

关键词

页岩气；致密气；两类产量递减模型；可采储量；应用；对比

Keywords

shale gas ； tight gas ； two production decline model ； recoverable reserve ； application ； comparison

众所周知，产量递减阶段是油气井和油气藏开采的主要阶段，它将伴随生产达到经济极限产量而停止。Arps于1945年提出的指数、双曲线和调和三种递减模型^[1] 得到了国际上的公认和应用。陈元千等提出的广义递减模型^[2-3]、线性递减模型^[4]、幂函数递减模型^[5] 和泛指数递减模型^[6] 均可对油气井和油气藏进行有效预测。实例应用结果表明，Arps的 n=0.5 的双曲线递减模型与陈元千等建立的 m=0.5 的泛指数递减模型是两类有效的产量递减预测模型。
1 两类递减模型的对比
1.1 双曲线递减模型及求解方法
双曲线递减模型的产量、累积产量、可采储量、递减率、无因次产量和无因次累积产量的公式^[1-3] 分别表示为：

q = \frac{q_{i}}{{(1 + n D_{i} t)}^{\frac{1}{n}}}

(1)

G_{p} = \frac{q_{i}}{(1 - n) D_{i}} [1 - {(\frac{1}{1 + n D_{i} t})}^{\frac{1 - n}{n}}]

(2)

G_{R} = \frac{q_{i}}{(1 - n) D_{i}}

(3)

D = \frac{D_{i}}{1 + n D_{i} t}

(4)

q_{D} = \frac{1}{{(1 + n t_{D})}^{\frac{1}{n}}}

(5)

G_{p D} = 1 - {(\frac{1}{1 + n t_{D}})}^{\frac{1 - n}{n}}

(6)

为了利用线性迭代试差法求解双曲线递减模型，将（1）式代入（2）式得到的直线关系式为：

q^{1 - n} = A - B G_{p}

(7)

A = q_{i}^{1 - n}

(8)

B = \frac{(1 - n) D_{i}}{q_{i}^{1 - n}}

(9)

选用 n =0.05 的步长，由（7）式进行线性迭代试差，求解双曲线递减模型，能形成最佳直线关系（相关系数最高）的n值，即为欲求的正确值。对该直线进行线性回归求得直线的截距和斜率后，通过（8）式和（9）式改写的下式确定q_i和D_i值：

q_{i} = A^{\frac{1}{1 - n}}

(10)

D_{i} = \frac{A B}{1 - n}

(11)

1.2 泛指数递减模型及求解方法
泛指数递减模型的产量、累积产量、可采储量、递减率、无因次产量和无因次累积产量公式^[6-7] 分别为：

q = q_{i} e^{\frac{- t^{m}}{c}}

(12)

G_{p} = \frac{q_{i} c^{\frac{1}{m}}}{m} [1 - Γ (\frac{1}{m}, \frac{t^{m}}{c})]

(13)

G_{R} = \frac{q_{i} c^{\frac{1}{m}}}{m} Γ (\frac{1}{m})

(14)

D = \frac{m}{c t^{1 - m}}

(15)

q_{D} = e^{\frac{- t_{D}^{m}}{c^{1 - m}}}

(16)

G_{p D} = 1 - Γ (\frac{1}{m}, \frac{t_{D}^{m}}{c^{1 - m}})

(17)

应当指出，在（13）式和（14）式中的完全伽马函数和上不完全伽马函数值，可查用伽马函数表或采用数值计算方法确定。
为了利用线性迭代试差法，求解泛指数递减模型常数q_i和m及c值，将（12）式改写为下式：

l n q = α - β t^{m}

(18)

其中：

α = l n q_{i}

(19)

β = \frac{1}{c}

(20)

选用m =0.05的步长，由（18）式进行线性迭代试差法，求解泛指数递减模型时，对于能够形成最佳直线（相关系数最高）的 m 值，即为欲求的正确值。在对该直线进行线性回归求解直线的截距和斜率后，通过变形（19）式和（20）式分别确定q_i和c的计算式为：

q_{i} = e^{α}

(21)

c = \frac{1}{β}

(22)

2 实例应用与对比
2.1 页岩气井的应用和对比
美国宾州Marcellus页岩气藏^[8] M₁井于2011年8 月投产，投产后第2个月该气井产量最大，此后进入递减阶段。该阶段不同时间的产量和累积产量的数据列于表1，并分别绘于图1和图2。
表1 M₁井的生产数据^[8]
Table1 Production data of Well M₁^[8]
图1 M₁井的q与t的关系
Fig.1 The q-t curve of Well M₁
图2 M₁井的G_p与t的关系
Fig.2 The G_p-t curve of Well M₁
2.1.1 双曲线递减模型的应用
将表1 中的数据按（7）式进行线性迭代试差法求解，得到n =0.5时的最佳直线关系绘于图3。该直线的截距 A =21.289，斜率 B =1.348×10^-3，相关系数 R²=0.978 2。将 A 和 n 值代入（8）式，得页岩气井的初始理论产量为：

q_{i} = {21.289}^{\frac{1}{1 - 0.5}} = 453.22 \times 10^{4} m^{3} / m o n

(23)

图3 M₁井n =0.5时q^1-ⁿ 与G_p最佳直线关系
Fig.3 Optimal linear relation between q^1-ⁿand G_p of Well M₁（n =0.5）
将A，B和n值代入（4）式，得页岩气井的初始递减率为：

D_{i} = \frac{21.289 \times 1.348 \times 10^{- 3}}{1 - 0.5} = 0.0574 {m o n}^{- 1}

(24)

再将 q_i，D_i和 n 值代入（3）式，得由 n =0.5 的双曲线递减模型预测页岩气井的可采储量为：

\begin{matrix} G_{R} = \frac{453.22}{(1 - 0.5) \times 0.0574} = \\ 15792 \times 10^{4} m^{3} = 1.5792 \times 10^{8} m^{3} \end{matrix}

(25)

将q_i，D_i和n值，分别代入（1）式、（2）式和（4）式，得预测页岩气井产量、累积产量和递减率表达式为：

q = \frac{453.22}{(1 + 0.0287 t)^{2}}

(26)

G_{p} = 15792 (1 - \frac{1}{1 + 0.0287 t})

(27)

D = \frac{0.0574}{1 + 0.0287 t}

(28)

将由（26）式、（27）式和（28）式预测得到的页岩气井的q，G_p和D值分别绘于图1、图2和图4。
2.1.2 泛指数递减模型的应用
将表1中数据按（18）式进行线性迭代试差法求解，当 m =0.5 时得最佳直线的截距 α=6.460 6，斜率 β=0.280 5，相关系数R² =0.993 0（图5）。
将α值代入（21）式，得页岩气井t =0时的初始理论产量为：

q_{i} = e^{6.46} = 638.63 \times 10^{4} m^{3} / m o n

(29)

图4 两种递减模型预测M₁井D与t的关系
Fig.4 The D-t curves of Well M₁ by the two decline models
图5 M₁井lnq与t^m的最佳直线关系（m =0.5）
Fig.5 Optimal linear relation between lnq and t^m of Well M₁（m =0.5）
再将β值代入（22）式得c值为：

c = \frac{1}{0.28} = 3.57

(30)

当m =0.5时，查伽马函数表得Γ（1/m）=Γ（2）=1，若将q_i，c，m和Γ（1/m）的数值代入（14）式，得由泛指数递减模型预测M₁井的可采储量为：

\begin{matrix} G_{R} = \frac{638.63 \times 1 \times {3.57}^{\frac{1}{0.5}}}{0.5} = \\ 16279 \times 10^{4} m^{3} = 1.6279 \times 10^{8} m^{3} \end{matrix}

(31)

将 q_i，c 和 m 值分别代入（12）式、（13）式和（15）式，得泛指数递减模型预测页岩气井的 q，G_p和 D 的表达式为：

q = 638.63 e^{- 0.28 t^{0.5}}

(32)

G_{p} = 16279 [1 - Γ (2,0.28 t^{0.5})]

(33)

D = \frac{0.14}{t^{0.5}}

(34)

由（32）式、（33）式和（34）式分别预测页岩气井 q，G_p和 D值，并分别绘于图1、图2和图4。由图1和图2 可以看出，泛指数递减模型预测的结果比双曲线递减模型预测的结果更接近于实际值，两类递减模型预测的可采储量基本相同。由图4看出，当t约大于 10 mon 时泛指数递减模型预测的递减率低于双曲线递减模型。
2.2 致密气井的应用和对比
根据文献^[9]的报道，某致密气井的产量和累积产量数据列于表2，并绘于图6 和图7。将表2 上数据分别按双曲线递减模型和泛指数递减模型进行线性迭代试差求解，当n =0.5和m =0.5时均可得最佳直线关系，见图8和图9。
表2 致密气井的生产数据^[9]
Table2 Production data of tight gas well^[9]
图6 致密气井q与t的关系
Fig.6 The q-t curve of tight gas well
图7 致密气井G_p与t的关系
Fig.7 The G_p-t curve of tight gas well
图8 致密气井双曲线递减模型的最佳直线图（n =0.5）
Fig.8 Optimal linear relation for hyperbolic decline model of tight gas well（n =0.5）
图9 致密气井泛指数递减模型的最佳直线图（m =0.5）
Fig.9 Optimal linear relation for pan exponential decline model of tight gas well（m =0.5）
2.2.1 双曲线递减模型的应用
将图8 上 n =0.5 最佳直线的数据，利用（7）式进行线性回归得到直线的截距 A =1.054 7，斜率 B = 0.000 2和相关系数 R² =0.991 4。由（10）式和（11）式分别求得双曲线递减模型的初始产量 q_i=1.112×10⁴ m³ /d 和初始递减率为 D_i =0.000 422 d^-1。将 q_i，D_i和 n 值代入（4）式，得致密气井的可采储量为：

G_{R} = \frac{1.112 \times 10^{4}}{(1 - 0.5) \times 4.22 \times 10^{- 4}} = 5270 \times 10^{4} m^{3}

(35)

再将q_i，D_i和n值分别代入（1）式、（2）式和（4）式预测的q，G_p和D值绘于图1、图2和图4。
2.2.2 泛指数递减模型的应用
将图8 上 m =0.5 最佳直线的数据，利用（18）式进行回归求得直线的截距α=0.379 3，斜率β=0.021 8 和相关系数 R² =0.976 5。再利用（24）式和（25）式分别求得泛指数递减模型的 q_i =1.461×10⁴ m³ /d 和 c = 45.871。当m =0.5，1/m =2时，查伽马函数表Γ（1/m）= 1。将 q_i，c，m 和 Γ（1/m）值代入（14）式，得泛指数递减模型预测致密气井的可采储量为：

G_{R} = \frac{1.461 \times 10^{4} \times {45.875}^{\frac{1}{0.5}} \times 1}{0.5} = 6150 \times 10^{4} m^{3}

(36)

再将 q_i，c 和 m 值分别代入（12）式、（13）式和（15）式，预测致密气井的 q，G_p和 D 值，分别绘于图6、图7和图10。由图6和图7看出，泛指数递减模型比双曲线递减模型的预测结果更接近于实际值，而两类模型预测的可采储量有所不同。由图10 可以看出，当 t约大于 650 d时泛指数递减模型预测的递减率低于双曲线递减模型。
图10 双曲线递减和泛指数递减模型预测的D值
Fig.10 The D values predicted by hyperbolic decline model and pan exponential decline model
3 结论
Arps于1945年利用油井产量递减数据，经统计研究，提出的指数、双曲线和调和三种递减模型，常规油气井和油气藏的实际应用结果表明，指数递减模型应用的最为广泛，双曲线递减模型应用的一般，调和递减模型应用的很少。通过本文的研究和应用表明，对于页岩气井和致密气井，n =0.5的双曲线递减模型和m =0.5的泛指数递减模型是两种重要的实用预测模型。这为页岩气井和致密气井产量、累积产量、可采储量和递减率的预测提供了实用有效方法。由页岩气井和致密气井的预测结果表明，泛指数递减模型预测的结果比双曲线递减模型更接近于实际。两类预测的可采储量基本相同，但预测的递减率相差明显。
符号解释
A和B ——双曲线递减模型最佳直线的截距和斜率；
c ——泛指数递减模型的时间常数，mon或d；
D ——t时间的递减率，mon^-1 或d^-1；
D_i ——t =0 时双曲线递减模型的初始理论递减率，mon^-1 或d^-1；
G_p ——t时间的累积产量，10⁴ m³；
G_pD ——无因次累积产量，dim；
G_R ——可采储量，10⁴ m³；
m ——泛指数递减模型的泛指数，dim；
n——双曲线递减模型的递减指数，dim；
q ——t时间的产量，10⁴ m³ /mon或10⁴ m³ /d；
q_i ——t =0时初始理论产量，10⁴ m³ /mon或10⁴ m³ /d；
q_D ——无因次产量，dim；
R² ——相关系数，dim.
t ——生产时间，mon或d；
t_D ——无因次时间，dim；
α和β——泛指数递减模型最佳直线的截距和斜率；
Γ（1/m）——完全伽马函数；
Γ（1/m，t^m/c）——上不完全伽马函数。
参考文献
- [1] ARPS J J.Analysis of decline curves［J］.AIME，1945，160：228-247.
- [2] 陈元千，唐玮.广义递减模型的建立及应用［J］.石油学报，2016，37（11）：1 410-1 413.CHEN Yuanqian，TANG Wei.Establishment and application of generalized decline model［J］.Acta Petrolei Sinica，2016，37（11）：1 410-1 413.
- [3] 陈元千，吕恒宇，傅礼兵，等.注水开发油田加密调整效果的评价方法［J］.油气地质与采收率，2017，24（6）：60-64.CHEN Yuanqian，LÜ Hengyu，FU Libing，et al.Evaluation meth⁃ od of infilling adjustment effect for waterflooding development oil⁃ fields［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2017，24（6）：60-64.
- [4] 陈元千，周翠.线性递减类型的建立、对比与应用［J］.石油学报，2015，36（8）：983-987.CHEN Yuanqian，ZHOU Cui.Establishment，comparison and ap⁃ plication of the linear decline type［J］.Acta Petrolei Sinica，2015，36（8）：983-987.
- [5] 陈元千，傅礼兵.幂函数递减模型的建立、对比与应用［J］.油气地质与采收率，2019，26（6）：87-91.CHEN Yuanqian，FU Libing.Establishment，comparison and ap⁃ plication of power function decline model［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2019，26（6）：87-91.
- [6] 陈元千，徐佳倩，傅礼兵.预测页岩气井产量和可采储量泛指数递减模型的建立及应用［J］.油气地质与采收率，2021，28（1）：132-136.CHEN Yuanqian，XU Jiaqian，FU Libing.Establishment and ap⁃ plication of pan exponential decline model for forecasting produc⁃ tion rate and recoverable reserves of shale gas wells［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2021，28（1）：132-136.
- [7] VALKÓP P，LEE J W.A better way to forecast production from un⁃ conventional gas wells［C］.SPE 134231，2010.
- [8] 何培，冯连勇，TOM Wilber.马塞勒斯页岩气藏单井产量递减规律及可采储量预测［J］.新疆石油地质，2015，36（2）：249-252.HE Pei，FENG Lianyong，TOM Wilber.Production decline rule and recoverable reserves prediction of Marcellus shale gas well in a production unit，Pennsylvania，US［J］.Xinjiang Petroleum Geol⁃ ogy，2015，36（2）：249-252.
- [9] LEE J W.Gas Reservoir engineering［M］.Richardson TX：Society of Petroleum Engineers，1995：217-218.

基本信息

中图分类号: TE32⁺8
文献标识码: A
DOI: 10.13673/j.cnki.cn37-1359/te.2021.03.010
文章编号: 1009-9603(2021)03-0084-06

稿件历史

收稿日期: 2020-09-15

参考文献

[1] ARPS J J.Analysis of decline curves［J］.AIME，1945，160：228-247.
[2] 陈元千，唐玮.广义递减模型的建立及应用［J］.石油学报，2016，37（11）：1 410-1 413.CHEN Yuanqian，TANG Wei.Establishment and application of generalized decline model［J］.Acta Petrolei Sinica，2016，37（11）：1 410-1 413.
[3] 陈元千，吕恒宇，傅礼兵，等.注水开发油田加密调整效果的评价方法［J］.油气地质与采收率，2017，24（6）：60-64.CHEN Yuanqian，LÜ Hengyu，FU Libing，et al.Evaluation meth⁃ od of infilling adjustment effect for waterflooding development oil⁃ fields［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2017，24（6）：60-64.
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两类产量递减模型在预测页岩气井和致密气井中的应用与对比

Application and comparison of two production decline models in shale gas wells and tight gas wells

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 两类递减模型的对比

1.1 双曲线递减模型及求解方法

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

1.2 泛指数递减模型及求解方法

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

2 实例应用与对比

2.1 页岩气井的应用和对比

2.1.1 双曲线递减模型的应用

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

2.1.2 泛指数递减模型的应用

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

2.2 致密气井的应用和对比

2.2.1 双曲线递减模型的应用

(35)

2.2.2 泛指数递减模型的应用

(36)

3 结论

参考文献

基本信息

稿件历史

参考文献