致密油藏孔喉半径小、非均质性严重^[1-3]，在实际开发过程中渗流速度低，属于微尺度渗流，其流动过程主要受非线性渗流控制，因此实现对致密油藏非线性渗流的精确表征，对于致密油藏的开发具有重要意义^[4-5]。目前，针对致密油藏非线性渗流进行表征的模型主要包括：拟启动压力梯度模型^[6-8]、分段模型^[9-10] 和基于等径毛细管束模型或者分形模型建立的非线性模型^[11-12]。其中，拟启动压力梯度模型造成驱替压力梯度小于拟启动压力梯度的区域无法流动，夸大了低渗透率储层的渗流阻力；分段模型将渗流过程分为 2 段，无法对整个渗流过程进行连续性表征；基于等径毛细管束模型建立的非线性模型解决了连续性表征的问题，但未考虑储层内部微观非均质性，对非线性渗流过程表征不够精确。因此，笔者在致密油藏岩心的基础上进行流动实验，建立驱替压力梯度与流体流量之间的关系，获得启动压力梯度、拟启动压力梯度和液测渗透率 3个表征参数，结合描述的动态阻力梯度特征，建立基于岩心流动实验和动态阻力特征的致密油藏非线性渗流表征模型，该模型在理论分析和岩心流动实验的基础上，既反映致密油藏内部微观非均质性又能在宏观尺度应用，为致密油藏的开发提供更加精确的非线性流动数学模型。

1 动态阻力梯度特征

动态阻力是指在渗流过程中，除了流体黏滞力外还需克服的阻力，是致密油藏非线性渗流的根本原因，是一个动态参数，动态阻力梯度为动态阻力形成的梯度力^[13]。基于文献^[13]，建立了动态阻力非线性渗流数学表征式。

其单根毛细管建立的数学模型表达式为：

对每根毛细管的流量进行表征，建立不等径毛细管束模型流量的计算方程式为：

单根毛细管模型的动态阻力梯度表达式为：

对每根毛细管的动态阻力梯度进行表征，建立不等径毛细管束模型的动态阻力梯度数学模型。不等径毛细管束模型中的动态阻力梯度是按毛细管所占体积进行加权平均而获取，其计算方程式为：

从图1可以看出，随着驱替压力梯度的增加，动态阻力梯度与驱替压力梯度比值先增大后减小。随着驱替压力梯度的增加，动态阻力梯度曲线先从一个比较高的初始值瞬间降落，然后逐渐增大，这是由于随着驱替压力梯度的增加，孔隙中参与流动的流体越来越多，发生界面效应的区域越来越多，其阻力之和逐渐增大。

对图1 中的驱替压力梯度取对数，可以得到动态阻力梯度的半对数坐标（图2）。从图2可以看出，动态阻力梯度与驱替压力梯度的对数呈较好的线性关系，说明可以用线性关系来表征动态阻力梯度与驱替压力梯度对数值之间的关系。

致密油藏非线性渗流过程中动态阻力梯度的定量表征方程式为：

2 非线性渗流数学表征方法

通过对不等径毛细管束模型的计算，明确了致密油藏渗流过程中的动态阻力梯度与驱替压力梯度的对数呈较好的线性关系，将（5）式代入达西公式可获得表征致密油藏非线性渗流的方程式为：

要实现对非线性渗流方程的表征，其关键要获得参数 D。而参数 D 的取得有 2 种方法：①延续前面的方法，考虑各种界面效应的影响，分别建立与参数 a和 b的关系。其优势在于可以直观且明确体现出各影响因素对参数a和b的影响，但主要缺点一是决定各种效应的系数较难以获得，二是所建立的不等径毛细管束模型虽考虑了储层内部的非均质性，但相对于储层岩心而言，仍过于理想化，与实际储层偏差大。②基于储层岩心流动实验，将参数 a 和 b 作为各种影响因素综合作用的结果进行处理。其优势在于可操作性和适应性较强，但缺点是参数 a和b变成一个宏观的平均化的综合参数，无法直接明确与各影响因素间的相互关系。

研究分析，求取参数D采用第2种方法，但致密油藏在实际渗流过程中动态阻力梯度特征是否与驱替压力梯度的对数呈线性关系。图2中的特征是基于不等径毛细管束模型，考虑边界层效应、体相流体与边界流体界面效应、非牛顿流体效应的基础上获得的，而储层渗流时在以上各种界面效应的基础上，还存在束缚水饱和度、迂曲度、孔喉分布等各种影响因素，但各种影响因素在某一确定的储层中，其对渗流的影响作用基本固定，所以储层渗流时束缚水饱和度、迂曲度、孔喉分布等各种影响因素的存在，只是将特征线进行了上下左右的平移，改变了特征直线中的a与b的值，但动态阻力梯度特征仍然符合图2中的规律。

基于致密油藏岩心流动实验，在不同的驱替压力梯度下可以获得渗流速度，建立驱替压力梯度与渗流速度的关系（图3），图3中存在启动压力梯度和拟启动压力梯度 2 个关键点，启动压力梯度是在启动压力梯度测试实验中，通过驱替压力梯度与渗流速度实验曲线在渗流速度为 0时对应 x轴的压力梯度；拟启动压力梯度是通过驱替压力梯度与渗流速度实验曲线的直线延伸段与渗流速度为 0 时对应 x 轴的压力梯度。

将 M 点处的流量和驱替压力梯度代入（6）式中，在M点，$Q_{{\lambda }_M}=0，{\lambda }_M=\frac{\mathrm{\Delta }p}{L}$，获得方程式为：

将（7）式与（5）式联立可得：

将N点处的流量和驱替压力梯度代入（6）式中，在N点，$Q=Q_{{\lambda }_N}，{\lambda }_N=\frac{\mathrm{\Delta }p}{L}$，获得方程式为：

将（9）式与（5）式联立可得：

联立（8）式和（10）式便可求得参数a和b的表达式分别为：

将获得的参数 a和 b代入（6）式中，可获得非线性渗流表征方程式为：

（13）式是基于动态阻力梯度特征以及流动实验建立的致密油藏非线性渗流表征的方程式。若实现非线性渗流方程式（13）的准确表征，需要得到K，μ，A，λ_M，λ_N和$Q_{{\lambda }_N}$等参数，其中μ通过储层流体资料获得，而其他参数可通过储层岩心流动实验获得，这样就可以将由理论建立的非线性渗流模型转变为基于岩心流动实验的非线性渗流模型。

3 参数确定与方法验证

3.1 参数确定

实验设备及流程  实验设备主要包括：高精度柱塞泵、水容器、油容器、岩心夹持器、围压跟踪泵、计量装置和恒温箱（图4），其中最关键的为高精度柱塞泵，要能够保证有足够小的流速，本实验中采用的为Quizix泵，其流量精度为1.0×10^-4 mL/min。

实验流体及温度  实验用水为 3% 的 KCL 溶液。实验用油为储层脱水脱气原油与中性煤油配制成的模拟地层油。实验温度为70℃。

实验步骤  实验步骤主要包括：①将密闭取心井岩心洗油洗盐处理后进行岩心基础数据测量，获得岩心长度、直径、空气渗透率，之后岩心饱和实验用水，并测量岩心孔隙度。②连接实验流程，将恒温箱温度设置到70℃，恒温4 h后，将岩心用实验用油驱替至束缚水状态，测量束缚水饱和度。③达到束缚水状态后，设置围压跟踪泵使净围压一直保持为3 MPa，以消除压敏效应对渗透率的影响，设置高精度柱塞泵流量至0.000 2 mL/min，连续驱替至稳定状态后测量压力。④将流速设置为低速渗流和高速渗流两部分，逐渐提高流量，记录每个流量下达到稳定状态下的压力，绘制驱替压力梯度与流量的关系曲线。⑤将关系曲线分为非线性段和拟线性段两部分，分段进行拟合，非线性段用二项式拟合，拟线性段用线性公式拟合，分别获得λ_M和λ_N。⑥将高精度柱塞泵调至恒压模式，设置驱替压力为λ_N L，连续驱替至稳定状态后获得该压力梯度下的流量 $Q_{{\lambda }_N}$。⑦将高精度柱塞泵压力设置为34.5 MPa（作为驱替实验的最大驱替压力），当流量稳定后测得Q _max，根据达西公式获得岩心液测渗透率。

流动实验采用的致密油藏岩心长度为 4.956 cm，直径为 2.504 cm，岩心渗透率为 1.85 mD，孔隙度为17.2%。用实验用水将岩心驱替至束缚水状态下，获得岩心束缚水饱和度为 42.8%，实验温度为 70℃，在该温度下采用的实验用油黏度为 1.324 mPa∙s。

将实验过程中测量获得的流量和驱替压力，分别绘制低速渗流和高速渗流部分的流量与驱替压力梯度关系曲线，并对该关系曲线进行分段拟合。根据启动压力梯度实验的拟合方法，对其中的低速渗流段采用二项式拟合，高速渗流段采用线性公式拟合（图5）。

根据拟合公式，获得致密油藏渗流的启动压力梯度为 1.751 × 10^-3 MPa / cm，拟启动压力梯度为 3.770×10^-3 MPa/cm。根据实验步骤⑥将高精度柱塞泵驱替压力设置为 9.440×10^-3 MPa，可以获得拟启动压力梯度对应下流量为 1.15×10^-3 mL/min。根据实验步骤⑦将高精度柱塞泵驱替压力设置为 34.5 MPa，获得对应下的流量为 4.440 8 mL/min，根据达西公式可得K _max为0.286 mD。将以上参数代入（11） 和（12）式中，便可得到参数 a和 b分别为 1.081×10^-4 和 1.299×10^-3，将其代入（6）式中，获得致密油藏非线性渗流表征方程式为：

3.2 方法验证

对（14）式进行验证。通过岩心渗流实验测试获得的流量与驱替压力梯度，对比非线性渗流表征方程计算结果，分别对低、高速渗流的非线性渗流方程进行验证（图6）。从验证结果可以看出，计算结果与实验结果符合程度较高，说明该非线性渗流表征方程在描述致密油藏渗流时精度高。

3.3 实例对比

以胜利油区某区块为例，该区块平均液测渗透率为 0.286 mD，原油黏度为 1.324 mPa∙s，原始地层压力为 45.0 MPa，厚度为 10 m。岩心流动实验测得的启动压力梯度为 1.751×10^-3 MPa/cm，拟启动压力梯度为 3.770×10^-3 MPa/cm。对比达西模型、动态阻力梯度模型和拟启动压力梯度模型，其运动方程式分别为：

从达西模型、动态阻力梯度模型和拟启动压力梯度模型的对比（图7）可以看出：达西模型和拟启动压力梯度模型的压差和产量呈线性关系，无法准确表征致密油藏渗流过程中的非线性特征；动态阻力梯度模型在低生产压差下，其压差与产量呈非线性关系，能较好地对非线性渗流进行表征，特别是在渗流压差较小时更明显。因此，所建立的动态阻力梯度模型相对于达西模型和拟启动压力梯度模型，可以更准确地对低渗透储层进行产能计算。

4 结论

针对致密油藏非线性渗流问题，基于致密油藏渗流过程中的动态阻力梯度特征，结合储层岩心流动实验，根据启动压力梯度、拟启动压力梯度、液测渗透率 3 个关键参数，建立新的致密油藏非线性渗流表征模型——动态阻力梯度模型。相对于达西模型和拟启动压力梯度模型，能够对非线性渗流段更好地表征，同时相对于其他非线性渗流表征模型，表征参数可以根据流动实验获得，更具有可操作性；并且根据此动态阻力梯度模型，可以进一步研究非线性渗流对致密油藏油水两相渗流的影响。

符号解释

a，b ——描述线性特征的斜率和截距，与储层性质、流体性质、储层与流体的界面效应有关；

A ——渗流横截面积，cm²；

d_i ——单根毛细管模型的动态阻力梯度，MPa/cm；

D ——不等径毛细管束模型中的动态阻力梯度，MPa/ cm；

D_i ——单根毛细管动态阻力梯度，MPa/cm；

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$——实际渗流过程中，作用于流体渗流的梯度，MPa/ cm；

$\left|\frac{\mathrm{d}{p}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{d}x}\right|$——驱替压力梯度，MPa/cm；

h ——边界层厚度，m；

i ——毛细管数量标记；

K ——岩心液测渗透率，mD；

K _max——驱替压力为34.5 MPa下岩心液测渗透率，mD；

L ——毛细管长度，m；

n ——毛细管数量，根；

Δp ——驱替压力，MPa；

p _L——压力，MPa；

q_i ——毛细管流量，m/s；

Q ——不等径毛细管束模型流量，m³ /s；

Q _max——驱替压力为34.5 MPa下岩心流量，mL/min；

$Q_{{\lambda }_M}$——启动压力梯度对应的流量，mL/min；

$Q_{{\lambda }_N}$ ——拟启动压力梯度对应的流量，mL/min；

r ——毛细管半径，m；

r_i ——单根毛细管半径，m；

v _D——动态阻力梯度模型渗流速度，cm/min；

v _DC——达西模型渗流速度，cm/min；

v _ND——拟启动压力梯度模型渗流速度，cm/min；

x ——沿岩心方向长度，cm；

ε——界面作用系数，Pa∙m；

λ_M ——启动压力梯度，MPa/cm；

λ_N ——拟启动压力梯度，MPa/cm；

μ——流体黏度，Pa∙s；

τ₀——流体屈服应力，Pa。

参考文献