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在油气田的开发过程中，对储层参数的研究是至关重要的。评价储层岩样渗透率可以了解地层流体在储层中的流动情况，更好地认识储层，有利于对储层的开发。随着数字岩心技术和计算机的发展，观察岩心样品微观结构的方式和尺度也有了新的拓展。数字岩心技术近年来逐渐成为研究储层微观孔隙结构、渗流特征参数和渗流机理的新手段。数字岩心技术不仅可以获取纳米—微米级别分辨率的岩心数字图像，而且能够通过对数字岩心样品进行微观渗流模拟，获得孔隙度、渗透率、相渗曲线、毛管力曲线等宏观渗流特征参数，样品尺寸要求较低，实验及模拟计算可重复性强，为储层性质和渗流机理研究提供了新的途径[1-9]。
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深度学习技术近年来随着机器学习和人工智能的诞生和发展逐渐兴起，具有自我组织学习输出特征，在学习中不断适应问题的特性，能够十分稳定并且准确地去分析处理大规模的数据集[10-13]。深度学习在非线性计算、模式识别、数据挖掘等领域都被大量应用，其中的卷积神经网络方法也越来越广泛地被用于石油行业中[14-16]。
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深度学习方法在处理大量数字岩心图像数据的识别方面具有天然优势，目前已有中外学者尝试应用深度学习方法获取数字岩心的岩石物理参数[17-20]，但是目前的研究中对于整体性的流程论述较多，对于如何确定深度学习过程中的样本尺寸、算法参数等问题的讨论较少。为此，笔者从 3 种典型砂岩岩心出发构建数字岩心样品，在微观流动模拟的基础上应用卷积神经网络方法计算砂岩绝对渗透率。在此过程中，讨论不同微观流动模拟方法对绝对渗透率计算结果的影响，如何根据岩心各向异性程度特征确定子样品尺寸，以及深度学习方法中相关参数的影响问题，从而对深度学习方法在数字岩心岩石物理方面的应用提供一定的参考。
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1 卷积神经网络方法原理
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深度学习通常称之为人工神经网络，其目标是模拟人类学习方式通过一系列算法让计算机可以自主地进行学习，这点与机器学习十分相似，但机器学习的模型在设计时不具备相关生物功能，故其在神经网络的深度与广度上不及深度学习，这也是机器学习与深度学习最明显的区别[13]。
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卷积神经网络是被细分出来专门用于处理大量二维甚至三维数据的神经网络，比如二维的图像识别、检测、分类等，当然也包括一维的时间序列数据。卷积神经网络学习的是输入与输出之间的特征关系，并通过对网络参数的自主更新，训练出模型将这之间难以用数学表达式量化的关系反映出来。卷积神经网络是一种监督学习，故所需要的样本集是包含了输入向量与输出向量的向量对，而针对这次研究，输入向量就是大小尺寸统一的大量的岩心切片图，输出向量就是其所对应的绝对渗透率。
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卷积神经网络包含有很多不同层，每层都有自己独立的功能，每层都是由多个特征图或大量一维数据组成的，每个特征图里的数据又可以被称为神经元，是模拟生物大脑产生的。除了简单的输入层与输出层之外，整个神经网络还含有卷积层、池化层和全连接层[21]。
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1.1 卷积
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卷积运算一般是指一种针对2个实变函数的数学运算。而在实际应用中，卷积神经网络中的卷积层目的是为了获取图像的局部区域信息。神经网络中的卷积运算如图1所示。
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图1 卷积运算示例
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Fig.1 Example of convolutional calculation
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图1 中的灰色部分被称之为卷积核，它被用于提取输入矩阵即二维数组的部分特征，并将这些特征组合起来传递到下一层。对于卷积核内的值都属于网络参数，通常是随机初始化通过网络学习得到的。而卷积核与原数据间的计算则遵循矩阵计算的原则，卷积核遵循一定的步长于输入矩阵上进行移动，原输入若为二维数据，卷积步长则只在输入矩阵的长和宽这2个维度实施。若为多通道输入层，卷积核的深度由输入矩阵的深度决定。
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1.2 池化
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池化层的目的是减少数据维度及网络训练过程中的计算量，进一步提取特征的同时还有效防止了数据训练过程中的过拟合。池化函数会均匀地对原输入的每个区域进行统计，通过不同的统计方式来将原输入的数据尺寸减小。最常用的最大池化函数就是统计每个矩形区域内的最大值（图2）。除此之外，常用的池化函数还有计算矩形区域内的平均值、L2 范数以及距中心像素距离的加权平均函数。
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1.3 全连接层
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经过多层的卷积与池化操作后，往往会设计 1到 2 个全连接层，全连接层的目的是为了将之前的多维输入转为一维，将提取到的数据特征压缩传递。置于全连接层神经元中的激活函数一般根据其网络用途而定。
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图2 最大池化函数运算示例
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Fig.2 Example of calculating maximum pooling function
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2 数字岩心绝对渗透率计算
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2.1 岩心样品与图像处理
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本次研究选取的岩心样品分别为来自德国的 Bentheimer 砂岩、美国的 Berea 砂岩与 Doddington 砂岩[22-24]。通过微米CT扫描实验总共获得了1 000张 1 0002像素的 Bentheimer 砂岩、1 024 张 1 0242像素的 Berea 砂岩和 1 024 张 1 0242 像素的 Doddington 砂岩的二维灰度图像，分辨率为 2.774 5 μm。通过数字岩心处理软件统计出3种砂岩的部分渗流参数与物性参数（表1，图3），其中Berea砂岩的绝对渗透率相对较小，其平均孔隙体积与平均孔径最小，而 Doddington砂岩各向异性指数最大，3种砂岩整体差距不大。
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经过滤波、阈值分割以及二值化等相关处理后得到原样品 CT扫描的二值化图像（图4），样品的孔隙与基质明显被分割开，方便继续之后的操作。
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通过阈值分割可以选取3种砂岩的基质并做出它们的三维重构图（图5），同时去除图像中对岩心渗流没有贡献的孤立孔隙（图6）。
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图3 3种砂岩孔径分布箱体图
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Fig.3 Box plot of pore diameter distribution of three sandstone samples
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目前对于数字岩心的微观流动模拟适用于工程计算的主要包括 N-S方程法和孔隙网络模型法。基于本次选用的 3 种典型砂岩，讨论这 2 种模拟方法在绝对渗透率计算方面的情况。
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2.2 N-S方程法
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绝对渗透率张量计算的主要原理是利用达西定律和修正的 N-S 方程[25]。达西定律是油藏实验模拟、数值计算等方面用来计算岩心渗透率的最为重要的公式之一，它描述了多孔介质中单相渗流速度、渗透率与压差之间的线性关系：
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假定通过岩石的流体为牛顿流体，即为不可压缩流体，流体的密度、黏度皆为常数，流体的流速不随时间变化而变化，流体流动过程为稳定层流，流速较小，可以将N-S方程进行简化：
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N-S方程除了以上形式之外还有一种体积平均形式，即：
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图4 3种砂岩的二值化图像
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Fig.4 Binary images of three sandstone samples
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图5 3种砂岩的基质三维重构图
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Fig.5 Three-dimensional reconstruction images of three sandstone samples
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图6 3种砂岩中的孤立孔隙
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Fig.6 Isolated pores in three sandstone samples
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该方程的这种形式为了使方程有效而改变了所需要研究的体积的大小，体积平均最主要的目的是使在体积空间内得到的方程更为平滑。基于这种方式，将一个高阶方程成功地转化为有关张量的计算问题。通过计算体积V内速度扰动场的平均值来得到渗透率张量，它表示的是多孔介质在任一方向上的渗流能力，反映了多孔介质的各向异性，其公式为：
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基于以上理论，利用 N-S 方程计算了 3 种砂岩原尺寸岩心的绝对渗透率（表2），并与原实验测得的数据进行对比。
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2.3 孔隙网络模型法
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通过对3种砂岩的阈值分割处理之后可以通过软件提取其中的孔隙结构，对其进行三维孔隙结构重构结果如图7 所示，其中不同的颜色表示孔隙体积大小不同。
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在此基础上通过球棍模型等比例地替代孔网模型中的孔隙与喉道获得各岩心样品的孔隙网络模型。使用不同颜色区分大小不同的孔喉，从图8 中可以直观地比较3种砂岩孔隙与喉道的尺寸。
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基于3种砂岩的孔隙网络模型计算得出其绝对渗透率（表2），对比计算值与标准值的误差可以看出，利用孔隙网络模型计算得到的绝对渗透率偏高，而且相较于通过 N-S 方程计算的结果误差更大。为此使用 N-S 方程进行后续的岩心样品绝对渗透率计算。
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3 数字岩心子样品切割与数据库建立
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3.1 子样品尺寸对绝对渗透率计算结果的影响
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为了在现有数字岩心样品基础上开展深度学习预测岩心绝对渗透率的方法研究，需要对现有样品进行切割以建立用于深度学习的数字岩心子样品数据库。为了平衡数字岩心子样品尺寸与代表性之间的关系，对数字岩心子样品的切割方式进行讨论。
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通过对现有相关文献研究方法的调研[14，26-28]，可以考虑采用的子样品尺寸主要包括 3 种：100× 100×100，200×200×200 和 300×300×300。因此，将 Bentheimer，Berea 和 Doddington 这 3 种砂岩的数字岩心分别按照这 3 种尺寸进行切割，获得各自对应的数字岩心子样品，并利用 N-S方程计算所有子样品的绝对渗透率，与原尺寸岩心样品标定的绝对渗透率进行比较（图9）。
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从图9 中可以看出，通过子样品计算的绝对渗透率都较岩心样品的实测值有一定程度的偏离，采用标准差和离散系数2个参数对偏离程度进行定量的描述。标准差的定义为：
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离散系数Θ的定义为：
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无论是标准差还是离散系数，它们的数值都是越小越好，数值越小，说明经过切割后的多数该尺寸的岩心仍很好地保留了原尺寸岩心的渗流能力。统计了3种砂岩不同尺寸下子样品的标准差与离散系数（表3），可以看出，200×200×200 切割方式得到的子样品作为此次实验的数据集更合适。这样的选择是建立在子样品在包含足够多的微观孔隙特征的前提下，还能创造更多的数据集，更利于后面模型的训练，提高神经网络训练的准确性。
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图7 3种砂岩的三维孔隙重构图
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Fig.7 Three-dimensional reconstruction images of pore spaces in three sandstone samples
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图8 3种砂岩的孔隙网络模型
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Fig.8 Pore network models of three sandstone samples
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图9 3种砂岩不同尺寸子样品的绝对渗透率
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Fig.9 Absolute permeability of three sandstone subsamples with different sizes
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除了通过对比不同尺寸样品之间的绝对渗透率与实测值之间的差异之外，还可以对比不同尺寸样品渗透率张量在不同方向上的分量大小，来反映切割方式是否对岩心子样品的各向异性产生影响。由图10可以看出，对于 3种砂岩当子样品尺寸切割为100×100×100时，渗透率张量在x，y和z方向上表现出了明显的各向异性，与原样品的“各向同性”特性差异非常大。这说明子样品切割尺寸过小时，影响了样品本身的渗流特征。而采用200×200×200或 300×300×300 方式进行子样品切割时，渗透率张量在x，y和z方向上的分量非常接近，较好的保持了岩心原有的渗流特征。
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综上所述，100×100×100 尺寸的岩心子样品无法保留足够多的原岩心的微观孔隙结构特征，造成了较大的渗透率均值的偏差以及各向异性偏差，而 200×200×200与 300×300×300尺寸的岩心样品从数据上看差距并不大，在差距不大的情况下，尺寸越小得到的子样品越多，越方便后续训练，因此选择将3块砂岩均切割成200×200×200的子样品建立样品数据库。
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3.2 深度学习数字岩心子样品数据库的建立
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深度学习三维数据库中包含有大量的表征岩心特征的图像以及与之相对应的绝对渗透率，其中每一组三维图像都是由多张二维 CT 扫描图组成。将 Bentheimer，Berea 和 Doddington 砂岩均切割成尺寸为200×200×200的子样品，具体切割过程通过Py⁃ thon编程实现。子样品数据库中的每一组数据都包含有200张200×200像素点的二维CT扫描图。
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在对 3种砂岩进行这样的切割共得到 375块子样品，为了保证有足够的数据集来进行训练，重新错开又切割一次得到 345 块子样品。所以一共拥有 720组尺寸为 200×200×200的子样品。利用对其中的每组子样品进行绝对渗透率的计算，得到了 720 组可用于深度学习模型训练与测试的数据集。按9∶ 1的比例将这些数据分为训练集和测试集（图11）。
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图10 3种砂岩不同尺寸子样品的渗透率张量在x，y和z方向的分量
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Fig.10 Components of the permeability tensor in x，y，and z directions of three sandstone subsamples with different sizes
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图11 深度学习数字岩心子样品数据库
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Fig.11 Digital core subsample database for deep learning
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4 深度学习方法预测岩心绝对渗透率
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在训练时为了不同时占用过多的储存空间，将 648组数据分批进行训练，每批数据量为36，迭代次数设为10。测试时将72组数据分批进行测试，每批数据量为18。
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在选择激活函数时，考虑到不同激活函数的特性及优缺点，选择的是 ReLU 函数，相比于 Sigmoid 函数，其在反向传播求误差梯度时的计算量相对较小并避免梯度消失，整个训练过程节省了很多时间。ReLU 函数在计算时会使一部分神经元的输出为 0 从而造成网络的稀疏性，减少了参数的相互依存关系，能够有效缓解过拟合问题。
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对于测试集的损失函数选择最常用的均方损失函数，其公式为：
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本文所建立的卷积神经网络中卷积层核尺寸为 20，步长为 5，填充值取 16，丢弃率取 0.5，学习率取 0.01，选取分段线性函数（ReLU）作为激活函数，均方误差（MSE）作为损失函数，随机梯度下降法 （SGD）作为参数更新算法。
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在设计网络时，设定的每层神经元代表一个学习到的中间特征，网络所有神经元共同作用来表征输入数据的特定属性。当相对于网络的复杂程度而言数据量过小时，容易出现过拟合，显然这时各神经元表示的特征相互之间存在许多重复和冗余，所以在神经网络的最后全连接层处增加一个丢弃层。丢弃层的直接作用是减少中间特征的数量，从而减少冗余，即增加每层各个特征之间的正交性。经过前人的交叉验证来看，隐含节点丢弃率等于0.5 时的效果最好，因为此时随机生成的网络结构最多。通过观察该神经网络在测试集上测试后得到的预测值与标准值间的均方误差来判断不同的丢弃率对该网络泛化能力的影响。从图12 中可以看出，当丢弃率为 0.5时，训练出来的卷积神经网络在测试集上的表现更好。
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图12 不同丢弃率对测试集结果的影响
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Fig.12 Impact of dropout rates on results of testing set
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学习率表示的是每次更新参数时参数变化幅度大小。学习率设置过大虽然会让损失下降得很快，但结果会在最优值附近震荡很难得到较理想的网络权值；学习率设置过小会让模型训练时收敛过于缓慢，浪费很多时间。通过比较不同学习率对训练集拟合时间和最终损失值的影响来确定最优的学习率。将初始学习率设为0.1，之后不断减小三倍直到 0.003。由学习率对训练集结果的影响（图13） 可以看出，在学习率为 0.01 时，前期损失下降较快后期损失开始回升，这样的大幅震荡表示该学习率过大导致更新的权值在最优值附近做大幅摆动，而且结果并不收敛。当减小学习率时，在经过多次迭代之后，结果显然收敛了，而从最后的损失值来看，当学习率设为 0.01 时，效果最好，此时更新的权值离最优值最近，震荡幅度最小。
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图13 学习率对训练集结果的影响
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Fig.13 Impact of learning rates on results of training set
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测试集中一共包含72组岩心样品数据，比较利用神经网络预测出的这些样品的绝对渗透率与利用 Avizo 计算出的标准值间的误差，并利用它们的相对误差作为结果来直观地了解训练后的神经网络对该类砂岩绝对渗透率预测问题的泛化能力。从最终的预测结果（图14）来看，通过训练出的卷积神经网络计算的砂岩绝对渗透率与使用 Avizo计算出的标准值的相对误差保持在 5% 以内，即证明这种方法是可以用于油气开发方向有关砂岩岩心绝对渗透率计算的，且从结果上来看误差较小。网络训练过程虽然较为复杂，为确保结果的准确性需要手动调整一些参数，但在训练完成后，利用该网络预测新岩心样品绝对渗透率的过程简洁又迅速，仅需要岩心二维 CT 扫描图作为原材料。此类方法在解决该类问题上具有较强的可行性，是未来油气田开发与深度学习新技术结合的良好实例。
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图14 测试集中的预测值与标准值对比
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Fig.14 Comparison of predicted and standard values in testing set
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5 结论
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对于 3 种具有代表性的砂岩样品，包括 Ben⁃ theimer，Berea 和 Doddington 砂岩的数字岩心样品，采用 N-S 方程法计算的绝对渗透率与真实测量值最为接近，孔隙网络模型法相对误差较大。
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从原尺寸岩心进行切割获得的子样品的尺寸对绝对渗透率的计算结果影响很大。对于 100× 100×100，200×200×200和300×300×300三种子样品尺寸而言，子样品尺寸越大越接近原尺寸岩心样品的绝对渗透率实测值；通过计算渗透率张量在x，y，z 方向分量发现，当子样品尺寸为 100×100×100 时 3 种砂岩的子样品均显示出明显的各向异性，而200× 200×200和 300×300×300较好地保持了原尺寸岩心样品较强的各向同性特征，说明切割子样品尺寸不宜取为100×100×100。
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在卷积神经网络系统搭建过程中，选取了对本次研究对象适合的丢弃率为0.5，学习率为0.01。通过搭建的卷积神经网络对子样品数据库进行训练后对测试集子样品进行测试，预测值与真实值差异在5%以内，证明了该方法的有效性。
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符号解释
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d ——压力扰动场的向量，可以认为是造成压力在空间内偏差的原因；
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D ——速度扰动场的张量，可以认为是造成速度在空间内偏差的原因；
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i ——子样品序号；
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I ——单位张量；
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k ——绝对渗透率，D；
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K ——渗透率张量，D；
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L ——岩心长度，m；
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n ——子样品总数量；
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P ——多孔介质中流相流体的压力，Pa；
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∆p ——岩心两端的驱替压差，Pa；
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Q ——单位时间内液体通过多孔介质的流量，m3 /s；
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S ——岩心的横截面积，m2；
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U ——流体的流动速度，m/s；
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V ——体积，m3；
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xi ——子样品绝对渗透率的计算值，D；
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xti ——子样品绝对渗透率计算真值，D；
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y ——原岩心绝对渗透率实测值，D；
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σ——标准差；
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Θ——离散系数；
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μ——液体黏度，Pa∙s；
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∇∙——散度算子；
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∇——梯度算子；
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∇2 ——拉普拉斯算子。
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摘要
基于卷积神经网络深度学习理论探讨了砂岩数字岩心绝对渗透率的计算方法和相关的重要影响因素。研究选取了3种具有代表性的砂岩样品包括Bentheimer砂岩、Berea砂岩和Doddington砂岩的数字岩心，比较了采用N-S 方程法和孔隙网络模型法计算绝对渗透率的差异性；探讨了对砂岩样品进行切割生成子样品时，3种不同子样品尺寸对绝对渗透率均值和不同方向渗透率分量的影响。在此基础上基于200×200×200尺寸对原砂岩数字岩心进行切割获取子样品，并对全部子样品进行微观渗流模拟计算获得相应的绝对渗透率，建立了用于深度学习的数字岩心子样品数据库。基于该数据库讨论了卷积神经网络系统搭建过程中的关键参数如学习率和丢弃率等的选择方法。训练学习后对测试集子样品进行测试，预测值与真实值差异在5%以内，证明了该方法的有效性。
Abstract
On the basis of the convolutional neural network（CNN）of deep learning theory，the calculation methods for the absolute permeability of sandstone digital cores and related important influencing factors were discussed. The study select- ed three representative sandstone samples，including digital cores of Bentheimer sandstone，Berea sandstone，and Dodding- ton sandstone. First，the permeability of these samples was calculated through the N-S equation and the pore network mod- el separately，and the difference was compared. Then，we explored the influence of three different subsample sizes on the mean absolute permeability and permeability components in different directions when the sandstone samples were cut into subsamples. On this basis，the original sandstone digital cores were cut by the size of 200×200×200 to obtain subsamples， and all subsamples were subjected to microscopic seepage simulation and calculations to produce the corresponding abso- lute permeability. Finally，the digital core subsample database for deep learning was constructed. Given this database，we discussed the selection methods of key parameters for CNN system construction，such as learning rates and dropout rates. Upon training and learning，the subsamples of the testing set were tested，and the difference between the predicted values and the true values was within 5%，which proves the effectiveness of the method.
