砂岩储层微观孔喉结构的复杂性是影响其渗透率和油气开发的关键因素之一。储层的骨架颗粒结构、填隙物组分等影响孔喉结构的复杂程度进而直接影响储层质量^[1]。常规用来表征孔喉结构的方法主要有铸体薄片、压汞测试、扫描电镜、核磁共振、CT 扫描^[2] 等，这些方法可以较好地描述孔喉分布特征，但在进一步定量刻画孔喉结构的复杂性上则存在一定的局限性。已有的勘探实践和研究发现，即使是具有相同或相近孔隙度和孔喉分布特征的储层，其渗透率也有较大差异，说明定量刻画微观孔喉结构的复杂性有助于分析孔喉结构复杂性对砂岩储层质量产生的影响。

近年来，分形几何学理论在地质学中得到了较广泛的应用，尤其是在定量表征多孔介质孔隙结构的复杂性方面，已成为重要的方法和手段^[3-4]。 KATZ等已证明多孔介质孔隙空间具有分形结构^[5]。贾芬淑等建立利用图像处理技术获取砂岩孔隙结构分形维数的方法，并给出砂岩孔隙结构分形尺度的下限^[6]。李海等利用氮气吸附数据获取页岩孔隙分形特征以探讨孔隙发育的主控因素^[7]。压汞测试作为目前应用最广泛的测试岩心孔喉结构的方法之一^[8]，常用来分析孔喉大小及其分布特征，且其测试数据还可用于计算分形维数，从而达到定量评价砂岩孔喉结构复杂性的目的^[9-11]。

笔者旨在运用分形几何学理论，以东营凹陷沙河街组砂岩储层为例，通过压汞资料获取孔喉分布特征、体积分形维数、迂曲度和迂曲度分形维数，定量评价储层孔喉结构复杂性，并分析其岩石学控制因素，从而探讨砂岩储层孔喉结构复杂性与渗透率的关系，以期为定量评价储层质量提供新思路。

1 区域地质概况及样品采集

东营凹陷位于济阳坳陷的东南部（图1），属于济阳坳陷次级凹陷，面积约为 5 850 km²。由一系列基底断块组成，平面上呈现近 NE 向北断南超的复式半地堑特征，主要受NE向和NEE向的张性、张扭性大断裂控制^[12]。研究区沙河街组自下而上可分为四段^[13]，沙四段沉积时期北部陡坡带为深湖-半深湖相^[14]，南部缓坡带为干旱滨浅湖相^[14]，博兴洼陷带为滨浅湖相。沙三段下亚段至沙三段上亚段沉积时期，北部陡坡带为滨浅湖相；南部缓坡带由干旱滨浅湖相转变为滨浅湖相，湖水含盐度下降； 博兴洼陷带仍为滨浅湖相，但湖水深度下降。沙二段至沙一段沉积时期，盆地水深进一步下降，为半干旱半咸水滨浅湖相^[15]。

对东营凹陷西南部金 27、高 351、樊 104、樊 1、樊 25 及东北部营 93、坨 134、坨 76、盐 16、盐 22、盐 222、史 131、牛 116、牛 108、王 107、东科 1 共计 16 口井的沙四段（Es₄）和沙三段（Es₃）岩心进行取样，共取样 16 块。取样时不仅考虑不同层段（沙四段 6 块、沙三段10块），还涉及不同的沉积微相类型（滩坝微相5块、浊积扇微相7块、水下扇微相4块）。砂岩样品沉积微相类型的确定主要依据前人的研究成果^[13-15]，并对16块样品分别进行显微镜下铸体薄片鉴定、粉晶XRD测试和高压压汞测试。

2 储层岩石学特征

铸体薄片观察结果显示，来自浊积扇微相、水下扇微相和滩坝微相砂体的绝大多数样品属于岩屑长石砂岩，少数属于长石岩屑砂岩（图2）。

研究区 7 块浊积扇微相砂岩样品的埋深为 2 552～3 326 m。除史 131 井的样品为长石岩屑砂岩外，其余均为岩屑长石砂岩。营93、牛116、王107 井样品的石英、长石、岩屑平均颗粒含量分别为 46%，27%和27%；硅质胶结物和钙质胶结物平均含量分别为 7.5% 和 4.2%。粒径为 87～1 272 μm，平均值为477 μm。颗粒分选中等，磨圆以次棱角状居多，压实作用弱，颗粒间多为点-线接触。胶结类型均为接触式胶结，具有3个胶结世代（图3a），即早期颗粒边缘为碳酸盐胶结物，中期石英次生加大，晚期孔隙内为碳酸盐胶结物；溶解作用发育，主要表现为长石粒内溶解。牛108、坨76、史131、东科1井样品的石英、长石、岩屑平均颗粒含量分别为 40%， 45% 和 15%；硅质胶结物和钙质胶结物平均含量分别为3.2%和15.4%。粒径为78～681 μm，平均值为 232 μm；颗粒分选中等偏好，磨圆以次圆状居多，压实作用弱，颗粒间多为点接触；胶结类型均为孔隙式胶结，具有 2 个胶结世代（图3b），即石英次生加大，随后碳酸盐胶结物充填于孔隙之间；溶解作用发育，主要表现为长石粒内溶解。

研究区 4 块水下扇微相砂岩样品的埋深为 2 026～3 986 m。坨 134 和盐 16 井的样品为长石岩屑砂岩，盐 222 和盐 22 井的样品为岩屑长石砂岩。其石英、长石、岩屑平均颗粒含量分别为 42%，24% 和 34%；硅质胶结物和钙质胶结物平均含量分别为 6.1% 和 3.6%。粒径为 70～2 376 μm，平均值为 762 μm；颗粒分选差，磨圆以次棱角状居多。压实作用弱，颗粒间多为点-线接触；胶结类型均为接触式胶结，具有 2 个胶结世代（图3c），即石英次生加大，随后碳酸盐胶结物充填于孔隙之间；溶解作用发育，主要表现为长石粒内溶解（图3d）。

研究区 5 块滩坝微相砂岩样品的埋深为 826～3 311 m。除樊25和金27井的样品属于长石岩屑砂岩外，樊 104、樊 1、高 351井的样品均为岩屑长石砂岩。其石英、长石、岩屑平均颗粒含量分别为 37%， 50% 和 13%；硅质胶结物和钙质胶结物平均含量分别为3.3%和17.4%。粒径为68～530 μm，平均值为 197 μm；颗粒分选中等偏好，磨圆以次圆状居多。压实作用弱，颗粒间多为点接触；胶结类型除樊1井的样品为接触式胶结外，其他均为孔隙式胶结，具有2个胶结世代（图3e），即石英次生加大，随后碳酸盐胶结物充填于孔隙之间；溶解作用发育，主要表现为长石粒内溶解（图3f）。

粉晶 XRD 全岩半定量测试结果（表1）显示，研究区浊积扇微相砂岩样品具有相对较高的黏土矿物（高岭石）及脆性矿物含量，水下扇微相砂岩样品具有相对较高的脆性矿物含量和较低的黏土矿物含量，滩坝微相砂岩样品具有较低的黏土矿物含量，斜长石含量显著高于钾长石含量。部分样品中碳酸盐胶结物含量相对较高。

3 储层孔隙类型及孔喉分布特征

3.1 孔隙类型

铸体薄片观察结果显示，研究区16块样品发育的孔隙类型均以次生孔隙为主，含少量原生孔隙 （图3）。浊积扇微相砂岩的孔隙类型具有2种特征，营 93、牛 116、王 107井的样品因长石溶蚀和早期胶结物溶解形成少量次生孔隙，并保留少量原生粒间孔隙且连通性较好（图3a）；牛 108、坨 76、史 131、东科 1 井的样品长石局部溶蚀较少，因而次生孔隙含量较低，原生粒间孔隙含量较少，孔隙连通性较差 （图3b）。水下扇微相砂岩样品具有较多的长石溶孔，次生孔隙含量较高并保留少量原生粒间孔隙，具有较好的孔隙连通性（图3c，3d）。滩坝微相砂岩样品具有少量由长石溶蚀形成的次生孔隙，及少量的原生粒间孔隙，孔隙连通性均较差（图3e，3f）。

3.2 孔喉分布特征

为研究储层孔喉结构复杂性，根据16块样品在高压压汞测试的低、中、高压区的进汞率，划分为 Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ共3种类型（图4）。

为进一步了解 3 种类型样品的储层物性特征，需计算各类型样品的孔喉直径及平均孔喉直径、方差和渗透率^[16] （表2）。其中，孔喉直径与进汞压力的关系式为：

平均孔喉直径可以反映砂岩样品的孔喉大小，其计算式为：

孔喉直径方差可以反映砂岩样品孔喉空间的复杂性，其计算式为：

这3种类型样品具有以下孔喉分布特征（图5）。

类型Ⅰ 该类型样品在低中压区进汞量较大，具有较长较低的平台段，而在高压区进汞量较小。孔喉整体连通状况一般，排驱压力较低。孔喉分布曲线为双峰式，主峰约为 10 μm，次峰约为 0.1 μm； 含有大量的大孔喉、少量的中孔喉及极少的微孔喉^[17]。平均孔喉直径较大，孔喉分布极分散，分选差。孔隙度为 8.277%～20.042%，渗透率为 5.322～208.862 mD，具有中低孔中低渗透特征，为中等偏差储层^[18]。

类型Ⅱ 该类型样品在低压区进汞量极少；在中压区进汞量较大，相较于类型Ⅰ，类型Ⅱ的平台段更高更短；在高压区进汞量较类型Ⅰ而言更多。孔喉整体连通状况差，排驱压力中等。孔喉分布曲线为双峰式，主峰约为 0.8 μm，次峰约为 0.1 μm；含有大量的中孔喉、较少的微孔喉及极少的大孔喉，几乎不含裂隙^[17]。平均孔喉直径较小，孔喉分布集中，分选好。孔隙度为8.896%～13.895%，渗透率为 0.603～1.746 mD，具有低孔特低渗透特征，为差储层^[18]。

类型Ⅲ 该类型样品在低中压区进汞量较少，在中高压区进汞量极大，相较于类型Ⅱ，类型Ⅲ的平台段更高更长。孔喉整体连通状况极差，排驱压力较高。除史 131和高 351井样品的孔喉分布曲线为双峰式外，其余均为单峰式，主峰集中于 0.1 μm； 含有极多的微孔喉、极少的中孔喉，几乎不含大孔喉及裂隙^[17]。平均孔喉直径较小，孔喉分布较分散，分选中等。孔隙度为 2.909%～7.617%，渗透率为 0.241～3.421 mD，具有特低孔特低渗透特征，为极差储层^[18]。

4 孔喉结构复杂性表征

4.1 表征参数

分形理论可用于定量描述自然界中结构复杂的对象，即物体数目与测量尺度间存在幂律规则。已有研究证实，岩心孔喉结构符合分形特征^[10]：

体积分形维数可用于表征孔喉大小和空间分布的复杂性。多孔岩石的体积分形维数多为 2～3 ^[19]，体积分形维数越大，分形对象越复杂。

利用压汞资料获取孔喉体积分形维数，单个孔喉的截面积对应单位长度试样，则孔喉半径大于 r 的孔喉单元数量为：

其中：

结合（4）式，得：

在岩石试验样品中，由孔喉形成的空间满足精确自相似分形，其余固相颗粒不满足^[20]。由于固相颗粒的存在，流体在孔喉中流动时可以表现出弯曲和自相似的特征^[20] （图6）。迂曲度可用于定量描述流体在砂岩样品孔喉中流动或扩散路径长度的复杂性，从而反映孔喉结构的复杂性。迂曲度的表达式为：

当孔隙度趋于 1 时，迂曲度也趋于 1，流线复杂性弱；当孔隙度趋于 0 时，迂曲度趋于无穷大，流线复杂性强。

目前，可用于获取岩石样品迂曲度的方法共有 4 种^[20]：实验测试、数值模拟、传统分析以及流体通过精确自相似多孔介质模型方法。由于实验测试和数值模拟方法获取的结果往往为经验关系式^[21-22]，普适性不强，而传统分析方法的几何模型推导过程十分繁琐^[23-24]，因此笔者仅对流体通过精确自相似多孔介质模型方法进行分析。

因为砂岩孔喉空间与其内部的流线长度具有自相似性，可以根据谢尔宾斯基地毯的精确自相似多孔介质模型推导得到流体通过砂岩孔喉空间流线迂曲度的递推公式^[25]：

（9）式中m与孔隙度的关系式为：

通过（10）式可以将迂曲度转化为孔隙度的函数。本次选择的16块砂岩样品的孔隙度均较低，固相颗粒常见有不规则覆盖和重叠情况，符合（9）式的推导前提^[25]，因而选择流体通过精确自相似多孔介质模型方法进行计算。

WHEATCRAFT等在1988年提出迂曲度分形维数^[26]，可用于定量刻画流体通过砂岩孔喉空间时单根流线的弯曲程度。迂曲度分形维数随着孔隙度的增加而减小，当孔隙度趋于1时，迂曲度分形维数也趋于1，孔喉结构复杂性弱。

由于尚无单独计算每根流线迂曲度分形维数的有效方法，且较每根流线弯曲程度的特性而言，所有流线弯曲程度平均值的共性更具有实际意义。 YU 等将迂曲度分形维数的物理意义进行推广^[27]，结合（8）式，可得到所有流线迂曲度分形维数的平均值^[28]，并令之近似等于迂曲度分形维数^[20]。即：

其中平均迂曲度的计算式为^[29]：

平均毛细管直径可基于压汞数据，利用概率密度函数方程计算^[20，27-28]：

分形维度数可用于刻画砂岩孔隙度对孔喉结构复杂性的影响，对于三维空间^[20]：

4.2 表征结果

根据（7）式、（10）式和（11）式，分别求取东营凹陷16块样品的孔喉体积分形维数、迂曲度和迂曲度分形维数，计算结果见表3。

各类型样品的孔喉结构复杂性表现为：类型Ⅰ 最弱，类型Ⅱ中等，类型Ⅲ最强。孔喉结构复杂性的差异主要源于各类型砂岩样品属于不同的沉积微相。水下扇微相保留大量结构简单的原生孔喉，由于硅质胶结物紧贴颗粒边缘发育，原始孔隙结构未受到较大改造，长石溶孔多且大，利于改善孔喉空间连通性，因此其孔喉结构相对简单，渗透率较高（图3c）；滩坝微相砂岩粒度小，原生孔喉几乎不可见，钙质胶结物充填于孔隙内，原始孔隙空间受到较大改造，长石溶孔发育程度低，孔喉空间连通性差，因此其孔喉结构相对复杂，渗透率较低（图3e）；浊积扇微相的砂岩结构特征差异大，部分与水下扇微相相似，部分与滩坝微相相似，因此其孔喉结构复杂性差异较大（图3a，3b）。

在利用压汞实验资料对储层类型划分的基础上，结合孔喉分形特征，进一步探讨研究区样品的孔喉结构复杂性。通过 E（x）与 D_f，τ，D_T 的关系（图7）可以看出，E（x）与D_f，τ，D_T均满足负相关关系，即 E（x）越大，D_f，τ和D_T越小，孔喉结构越简单；而E（x） 越小，孔喉结构越复杂。

从孔喉分布复杂性角度（D _f）来看（图7a），类型 Ⅰ具有高E（x）和低D_f的特征（图7a），类型Ⅱ和Ⅲ具有低E（x）和高D_f的特征，说明类型Ⅰ的孔喉非均质程度低于类型Ⅱ和Ⅲ。E（x）与 D_f 具有极强的负相关关系，即E（x）是D_f的主控因素之一。

从孔喉迂曲度和迂曲度分形维数所反映的流体渗滤通道空间分布的复杂性（图7b，7c）可以看出，类型Ⅰ具有低 τ 和 D_T 的特征，反映其流体渗滤通道空间迂曲程度较低；类型Ⅲ具有高 τ和 D_T的特征，反映其流体渗滤通道空间迂曲程度高；类型Ⅱ 流体渗滤通道空间迂曲程度介于类型Ⅰ和Ⅲ之间。由于 τ 和 D_T 主要体现流体通过孔喉空间时的迂曲程度，且迂曲程度多与渗滤通道的形态有关，因而 E（x）与τ和D_T仅具有一定的负相关关系。

5 孔喉结构复杂性对渗透率的影响

通过 D_f，τ 和 D_T 与渗透率的双对数关系（图8） 可知，三者与渗透率均呈负相关关系，即 D_f，τ 和 D_T 越大，孔喉结构复杂性越强，渗透率越小；反之复杂性越弱，渗透率越大。

从孔喉结构复杂性角度（D _f）（图8a）可以看出，类型Ⅰ具有低 D_f、高渗透率的特点；类型Ⅱ和Ⅲ具有高 D_f、低渗透率的特点，即类型Ⅰ的孔喉分布较类型Ⅱ和Ⅲ而言更简单，因而具有较高的渗透率。 D_f与渗透率具有较好的负相关关系，即孔喉结构复杂性是影响渗透率的重要因素。

从孔喉迂曲度及迂曲度分形维数所反映的流体渗滤通道空间分布的复杂性（τ 和 D_T）（图8b，8c） 可以看出，类型Ⅰ具有低 τ和 D_T、高渗透率的特征，反映其孔喉结构迂曲程度较小，因而具有较高的渗透率；类型Ⅲ具有高 τ和 D_T、低渗透率的特征，反映其孔喉结构迂曲程度较大，因而具有较低的渗透率；类型Ⅱ的孔喉结构迂曲程度介于类型Ⅰ和Ⅲ之间。τ和 D_T 具有良好的负相关关系，即流体渗滤通道空间分布的复杂性是影响渗透率的重要因素之一。

6 应用效果分析

引入分形理论可以定量评价孔喉结构复杂性导致的渗透率差异，从而为定量评价储层质量提供新思路。例如东营凹陷盐 222、樊 1、坨 76井样品的孔隙度均为 7.5%～9%，但渗透率存在较大差异，为 0.6～5.3 mD；这主要是由于样品的成分组成、结构特征、重要成岩类型和孔隙类型存在差异，导致孔喉结构复杂性（孔喉分布和流线迂曲度及其复杂程度）存在差异，即原生孔隙空间保存和后期改造状况存在差异。类型Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ分别为中等偏差储层、差储层和极差储层，其平均渗透率分别为63.29， 1.10 和 0.94 mD；D_f，τ 和 D_T的平均加和数分别为 6.14，6.84和 8.30，即不同的分形表征参数特征可用于区分砂岩储层的质量。由此可见，通过计算 D_f，τ 和D_T对孔喉结构复杂性进行定量描述，可以更好地刻画孔喉分布的复杂性、流体流动或扩散路径的弯曲性和流体通过随机复杂多孔介质时的复杂性及其与渗透率的关系。引入分形理论定量化描述孔喉结构，可以弥补常规储层评价中难以刻画的砂岩储层孔喉结构空间复杂性特点及性质，并为定量评价和区分具有不同复杂孔喉结构的砂岩储层质量提供新思路。

7 结论

东营凹陷沙四段和沙三段储层以岩屑长石砂岩为主、长石岩屑砂岩为辅。根据各样品在高压压汞测试不同压力段的进汞比率，将研究区16块样品分为3种类型储层。不同类型砂岩储层的孔喉结构复杂性由弱到强依次为类型Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ。研究区样品的 E（x）与 D_f，τ 和 D_T 均具有负相关性，D_f，τ 和 D_T 与渗透率具有较好的负相关性，说明平均孔喉直径是控制孔喉结构复杂性的重要因素。孔喉结构复杂性（D_f，τ 和 D_T）是影响砂岩渗透率的关键因素。砂岩孔喉结构复杂性及其渗透率受沉积微相的影响较大。不同孔喉结构复杂性的砂岩储层具有不同的分形表征参数特征，引入分形表征参数（D_f，τ 和D_T）为定量评价砂岩储层质量提供了新思路。

符号解释

d——孔喉直径，μm；

D_f ——体积分形维数，无量纲；

D_fx——分形维度数，无量纲；

D_T——迂曲度分形维数，无量纲；

D（x）——孔喉直径方差，μm；

E（x）——平均孔喉直径，μm；

K——渗透率，mD；

L_t ——流体路径的实际长度，μm；

L₀——沿宏观压力梯度方向的直线长度或特征长度（L_t ≥ L₀），μm；

m——谢尔宾斯基地毯的阶数，取值为0，1，2，···；

n——孔喉半径总数，个；

N（r）——孔喉半径大于r的孔喉单元数量，个；

p_c——进汞压力，MPa；

p_r ——对应孔喉半径的进汞率，%；

$R_{D_{\mathrm{f}}}^2$——logN（r）和logr的线性拟合优度，无量纲；

r——孔喉半径，μm；

S——孔喉面积，μm² ；

V_Hg——累积进汞量，mL/g；

θ——汞接触角，（°）；

λ_av——平均毛细管直径，μm；

λ_max——最大孔喉直径，μm；

λ_min——最小孔喉直径，μm；

σ——汞表面张力系数，mN/m；

τ——迂曲度，无量纲；

τ_av——平均迂曲度，无量纲；

τ_n——各谢尔宾斯基地毯阶数的迂曲度，无量纲；

ϕ——孔隙度，%。

参考文献